Piazza ArmeriNa 20 Febbraio 2002

Argomentare, Congetturare e Dimostrare

nella Scuola di tutti

 

Insegnante: Milazzo Angela

Scuola Media Inferiore, Classe I D (16 alunni)

 

La consegna (tempo 100 minuti):

La seguente affermazione é sempre vera?

Un numero pari si puÚ sempre scomporre nella somma

di due numeri primi?

Argomentate le vostre Affermazioni.

 

Organizzazione del lavoro:

 

Fasi dell'attività:

I fase: discussione in gruppi di due alunni sulla consegna ricevuta

(tempo: 10 min.);

II fase: ricerca individuale scritta delle strategie risolutive del problema

(tempo: 30 min.);

III fase: divisione della classe in due squadre e argomentazione di gruppo

(tempo: 30 min.);

IV fase: dimostrazione delle strategie risolutive individuate fra le squadre

concorrenti (tempo: 30 min.).

 

 

Analisi qualitativa dei risultati della sperimentazione

…       I Fase - Gli alunni, ricevuta la consegna, si confrontano a due al fine di rendersi conto se hanno chiaro il quesito; argomentano sui numeri pari, sui numeri primi e sulla scomposizione dei numeri. In questa fase cominciano a fare proprio il problema.

…       II Fase - Inizia la fase dell'individuazione personale delle strategie per la risoluzione del quesito. Alcuni alunni passano subito all'individuazione di strategie, altri hanno bisogno di riflettere, tutti si sentono responsabilizzati e cercano soluzioni, utilizzando anche la tavola dei numeri primi.

…       III Fase - Divisa la classe in due squadre, gli alunni eleggono due capisquadra e si dispongono in assetto di piccolo gruppo (due gruppi di quattro alunni per squadra). Gli alunni socializzano, comunicano tra loro le strategie individuate e cercano di convincere gli altri sulla validità della propria strategia. Qualche alunno ha un ruolo passivo, altri si evidenziano come capi gruppo e cercano di coinvolgere tutti perché hanno compreso che il successo é della squadra e non personale.

Gli alunni selezionano le strategie più valide e le scrivono ricercando un linguaggio quanto più appropriato e scientifico. Le due squadre si chiudono nella comunicazione per non fare trapelare alla altra squadra le strategie elaborate.

…       IV Fase - Inizia la competizione tra le due squadre: i capisquadra e i capigruppo illustrano alternativamente alla lavagna le strategie, mentre la squadra avversaria cerca dei contro esempi per confutarle.Ý Tutti gli alunni sono interessati, perché sanno che vincerà la squadra che quantizzerà più punti.

Viene assegnato 1 punto per ogni strategia valida, mentre sono assegnati 3 punti per ogni strategia, dimostrata come non valida, dalla squadra avversaria.

Le due squadre concludono in parità, quantizzando 6 punti ciascuna.

 

Gruppo A	Gruppo B
6	6

 

Si cancellano progressivamente le strategie non valide dalla lavagna, sulla quale rimangono quelle che dimostrano la congettura.

Le strategie individuate dagli alunni rientrano in quelle individuate nell'analisi a priori, di seguito allegata:

1.     Verifica la congettura sommando numeri primi progressivi e verificando se la somma é pari oppure no. [A]

2.     Sceglie un numero pari e considera i numeri primi inferiori ad esso; quindi verifica la congettura scegliendo uno di questi numeri primi e costatando se il complementare (differenza tra il pari e il primo considerato) é anch'esso primo. (uso delle tavole). [B]

3.     Scompone il numero pari come somma di unità; quindi applica la proprietà associativa fino ad ottenere due numeri primi tali che la somma sia il numero considerato.[C]

4.     Scompone il numero pari in fattori primi e somma i fattori cercando di ottenere due primi.[D]

5.     Verifica la congettura considerando numeri primi presi a caso.[E]

6.     Si basa sulle cifre finali di un numero primo per accertare la verità dell'affermazione. [F]

7.     Verifica se il numero pari Ë scomponibile nel prodotto di due primi più un altro primo.[G]

 

 

Analisi qualitativa mediante indicatori

Dall'analisi delle produzioni e delle registrazioni in assetto di gruppo e di squadra, si evince che la maggior parte del gruppo classe argomenta sulla congettura, produce definizioni, generalizza. Tutti ricercano strategie, solo alcuni giustificano le stesse, la maggior parte utilizza indicatori linguistici di condizionalità, di generalità.

In modo particolare, attraverso i frammenti di filmato, si evidenziano le seguenti tipologie di argomentazione:

1.     definisce e produce argomentazioni di tipo locale (sommando due numeri primi a caso si ottiene un numero pari), utilizzando indicatori linguistici di tipo ostensivo e di generalità;

2.     definisce e classifica, facendo riferimento di tipo teorico;

3.     generalizza ed utilizza indicatori linguistici di generalità (scomponendo multipli di 10 verifico che si ottengono sempre due numeri primi);

4.     progetta e verifica ipotesi facendo riferimento ad un sapere matematico;

5.     verifica ipotesi e procede alla validazione mediante esempi, che presenta con indicatori linguistici di condizionalità e ritorna su una strategia dimostrandola;

6.     verifica la congettura e procede alla validazione in modo sperimentale;

7.     produce congetture e le verifica con esemplificazioni facendo riferimento teorico;

8.     enuncia, gerarchizza, individua regolarità e comprende il ruolo della definizione in matematica;

9.     verifica la congettura scomponendo numeri pari progressivi, utilizzando indicatori linguistici di condizionalità.

Sono forniti due controesempi:

…       controesempio ostensivo per confutare la congettura, che porta all'attenzione il numero 2;

…       controesempio su base argomentativa per confutare un'ipotesi.

Solo pochi non producono argomentazioni o argomentano in modo tautologico. L'esperienza nel complesso é stata utile per il raggiungimento dei seguenti obiettivi:

…       potenziamento delle capacità logiche;

…       sviluppo delle capacità di argomentare su un problema;

…       socializzazione.

            Il ruolo dell'insegnante é stato di guida.