II. Notions paramathématiques, Notions mathématiques

Chevallard (1985) distingue, parmi les objets de savoir, les notions mathématiques et les notions paramathématiques. Les premières, dont il cite, comme exemples, l’addition, le cercle, la dérivation etc., peuvent prendre la forme de définitions ou de constructions et possèdent des propriétés et des conditions d’emploi. L’enseignant attend que l’élève sache en donner la définition et les propriétés et reconnaisse un certain nombre des occasions d’emploi. Quant aux notions paramathématiques, dont la démonstration est citée comme exemple, ce sont des notions-outils de l’activité mathématique. Elles ne sont pas normalement des objets d’étude pour le mathématicien, comme les notions mathématiques. De plus, elles ne font pas l’objet d’un enseignement: ce sont des objets de savoir auxiliaires, nécessaires à l’enseignement (et à l’apprentissage) des objets mathématiques proprement dits. Par exemple, les professeurs de mathématiques ont des exigences par rapport à la rédaction de la démonstration mais ils ne font pas un cours sur les règles d’écriture auxquelles elle doit répondre. Ils peuvent toutefois, lorsque l’occasion se présente, expliciter oralement quelques unes de ce règles. Les manuels également explicitent rarement les règles méthodologiques dans la rédaction d’une démonstration. Comme le remarque Berdonneau (1981), « Rares sont les manuels qui consacrent une part non négligeable de leur texte à des indications de nature méthodologique ».

Cependant, il est nécessaire, pour déterminer si un objet de savoir est une notion mathématique ou paramathématique, de se référer à une pratique d’enseignement précise (niveau dans le cursus, lieu, temps, secteur des mathématiques etc.). En France, par exemple, la démonstration qui est considérée comme une notion paramathématique dans l’enseignement actuel des mathématiques, ne l’a pas été dans le programme de 1971. En effet, elle apparaissait, lors de la troisième année du premier cycle de l’enseignement secondaire (classe de 4ème de collège), comme un véritable objet d’enseignement (Balacheff, 1988). Elle correspondait à des définitions précises en logique des mathématiques ce qui lui donnait le statut de "mathématique". 

Par ailleurs, comme le précise Chevallard (1985), « les notions paramathématiques sont normativement considérées comme exclues de l’évaluation directe », contrairement aux notions mathématiques. Lorsque l’enseignant propose un problème de démonstration en géométrie à l’élève et que celui-ci échoue dans la résolution, il pourra conclure que l’élève n’a pas compris la notion de démonstration. Cependant, il ne pourra pas établir un barème dans lequel il attribue, par exemple, deux points à un bon usage des « Si .... alors » ou trois points à l’utilisation du raisonnement par l’absurde.