IV. La démonstration dans les programmes tunisiens

Pour pouvoir étudier la place de l’enseignement de la démonstration dans les programmes tunisiens, il importe de passer en vue les réformes les plus importantes qu’a connues l’enseignement en Tunisie. Nous insisterons, en décrivant les différentes réformes des programmes, sur les changements qui ont touché l’enseignement des mathématiques et plus particulièrement sur les points qui se rapportent à la démonstration en géométrie. L’analyse des programmes, destinés à orienter l’enseignant, nous semble nécessaire pour comprendre sur quelles types de données se fonde l’enseignement de la démonstration.

Depuis l’indépendance, l’enseignement tunisien a connu quatre réformes importantes qui ont eu lieu respectivement en 1958, en 1970, en 1978 et en 1991. Les caractéristiques de chacune d’elles sont détaillées, au fur et à mesure, dans ce qui suit:

• Avant 1958, ce sont les programmes français conçus en 1945 qui ont été enseignés (Kachoukh, 1986). La réforme de l’enseignement de 1958, aboutissant à la mise en place de programmes en 1959, avait pour principal objectif la scolarisation totale des enfants âgés de 6 ans, prévue pour 1966-1967 (Ayachi, 1986). En mathématiques, cette réforme a été caractérisée par l’importance accordée à la nécessité de développer l’esprit d’analyse et de synthèse de l’élève et de le faire participer à la construction de son savoir. La géométrie est considérée le stimulant par excellence de l’esprit de recherche et de l’intuition (Tunisie, 1959). D’autre part, le fait que l’enseignement des mathématiques s’appuyait, jusque là, sur le contenu de manuels français a été critiqué, surtout que ces derniers étaient destinés à des élèves de langue maternelle et de culture françaises. Ainsi, il a été considéré que les élèves tunisiens rencontreraient d’énormes difficultés liées à l’incapacité de comprendre des phrases complexes, formulées dans une langue étrangère, surtout dans les niveaux les plus élémentaires (par exemple, en 1ère année secondaire équivalente à la sixième française). De ce fait, les nouveaux programmes de mathématiques tenaient compte des particularités culturelles, linguistiques, géographiques etc. des élèves tunisiens en restant, toutefois, enseignés en français.

• En 1966, l’Unesco, dans le cadre du programme destiné à promouvoir, sur le plan mondial, les échanges d’informations concernant l’enseignement des mathématiques, publie, le premier volume de la collection « Tendances nouvelles de l’enseignement des mathématiques » qui aboutit à une réforme de l’enseignement des mathématiques dans plusieurs pays (Unesco, 1966). De plus, cette même année, l’Unesco s’associe à une action novatrice visant à améliorer l’enseignement des mathématiques dans les pays en développement et lance un projet pilote « L’enseignement des mathématiques au niveau secondaire dans les états arabes » (Unesco, 1969). Au sein du mouvement de cette réforme, le rôle de l’enseignement de la géométrie suit la description des travaux du groupe Bourbaki que l’on appelle mathématiques contemporaines ou modernes (Bourbaki, 1960).

Cette réforme a abouti à un changement important dans les programmes tunisiens. Ainsi, dans les directives du programme de 1970, les notions traditionnellement qualifiées de pratiques et de concrètes sont remises en question (Tunisie, 1970). Le modèle géométrique qui est abstrait, est complètement séparé du modèle physique (Bannout et Hussain, 1987). Dès les premières années de l’enseignement secondaire, une nette tendance vers l’abstraction est privilégiée. Une attention particulière est accordée à l’axiomatique, dès le début de l’initiation à la géométrie démontrée. Le but de l’enseignement à ce stade est d’initier les élèves à préciser « les caractéristiques des objets géométriques familiers, à en définir de nouveaux, à les abstraire pour en faire des êtres mathématiques » (Tunisie, 1970).

D’autre part, cette réforme se propose d’amener les élèves à la notion fondamentale de structure, dès la fin du premier cycle. De plus, elle se caractérise principalement par la séparation de l’étude des propriétés métriques et affines. Le point de vue affine est traité avant le point de vue métrique, ce qui a réduit l’usage des instruments de mesure et le calcul numérique. Certaines notions familières telles que la mesure des angles, d’aires et de volumes sont reportées à la fin du secondaire et font partie de l’ensemble des applications du calcul intégral.

Dans le cadre de cette réforme, les programmes qui ont suivi mettent l’accent sur la forme de la démonstration. Ainsi, dans les instructions du programme de 1978 (Tunisie, 1978), concernant le niveau de 5ème (équivalent 2nde française), il est écrit “ A l’occasion de divers énoncés rencontrés, les élèves auront leur attention attirée sur le rôle joué en mathématiques par les principaux “ connecteurs ” (et, ou, non, si...alors et ses synonymes, équivaut et ses synonymes) et “ quantificateurs ” (quelque soit, il existe). Ils noteront leurs règles d’emploi, tant pour formuler les énoncés que pour conduire les raisonnements ”. Cette instruction laisse prévoir un degré de formalisme dans la rédaction des démonstrations, plus élevé que celui adopté dans les niveaux inférieurs. En effet, la 5ème année est un niveau scolaire où l’enseignement devient spécialisé et cette instruction est destinée à des élèves de 5ème, Section « Maths-Sciences » et « Maths-Techniques ».

Dans le même programme de géométrie (Tunisie, 1978), concernant le niveau de 3ème (4ème française), l’importance accordée à la forme de la démonstration apparaît clairement: “ Le but de l’enseignement des mathématiques dans cette classe est de faire comprendre aux élèves ce que sont des démonstrations et de leur apprendre à en rédiger; les prémisses devront donc être précisées avec soin ”. De plus, l’utilisation de l’axiomatique dans l’enseignement de la géométrie est mentionnée dans cette instruction “ A la fin de l’année scolaire, la géométrie née de l’expérience, devra apparaître aux élèves comme une véritable théorie mathématique, c’est-à-dire des faits ayant été admis (axiomes), d’autres en sont déduits (théorèmes) ”. Cette phrase relate bien le point de vue de la géométrie grecque, qui partant de données du monde sensible, établit la vérité d’un énoncé par la démonstration. En effet, les plus anciennes démonstrations grecques consistaient à donner des certitudes appuyées sur le visible. Cependant, le rôle moteur de la figure est caché par la mise en scène de la démonstration euclidienne comme suite d'étapes toujours identiques. 

Par ailleurs, selon les mêmes instructions du programme (de 3ème tunisienne correspondant à la 4ème française, 1978), le choix des axiomes n’est pas très restrictif: “ On pourra adopter comme axiomes ceux qui sont indiqués dans le commentaire; mais d’autres choix demeurent légitimes ”. Dans le programme de 4ème (3ème française) de la même année (1978), cette dernière instruction réapparaît. De plus, l’intention de faire apprendre à l’élève ce qu’est une démonstration est reprise dans les instructions du programme et concerne, cette fois, l’algèbre aussi bien que la géométrie: “ Les élèves ont déjà appris, en 3ème année, ce qu’est une démonstration. Cet effet sera poursuivi, à propos des questions d’algèbre et de géométrie propres à cette classe, dans le même esprit qu’en troisième ”.

Les mentions qui sont apparues dans le programme tunisien de 1978 font apparaître la démonstration comme un objet privilégié d'enseignement qui correspond à des règles précises en logique des mathématiques, ce qui lui donne ainsi le statut de "mathématique", selon les termes de Chevallard (1985).

Il est intéressant de remarquer que la réforme des mathématiques modernes s’est instaurée en France, en 1969 (Berdonneau, 1981), parallèlement à son apparition en Tunisie et se caractérise par les mêmes changements qu’a connues la réforme en Tunisie. De plus, les instructions du programme de géométrie de 3ème (4ème française) de l’année 1978, que nous venons de citer, sont exactement les mêmes que celles qui figurent dans le texte du programme français de 1971 du même niveau scolaire (arrêté du 22 Juillet 1971). En effet, dans le préambule de ce programme, indiquant une synthèse rapide de l’orientation à donner à l’enseignement de la géométrie dans cette classe, il est écrit:

« A la fin de l’année scolaire, la géométrie, née de l’expérience, devra apparaître aux élèves comme une véritable théorie mathématique; c’est-à-dire que des faits ayant été admis (axiomes), d’autres en sont déduits (théorèmes). Mais, il est absolument indispensable que de nombreuses manipulations, des exercices pratiques utilisant les instruments de dessin aient précédé à la fois l’énoncé des axiomes et tout raisonnement. Le but de l’enseignement des mathématiques dans cette classe est de faire comprendre aux élèves ce que sont des démonstration et de leur apprendre à en rédiger; les prémisses devront donc être précisées avec soin. On pourra adopter comme axiomes ceux qui sont indiqués dans les commentaires; mais d’autres choix demeurent légitimes ».   

Ainsi, il apparaît clairement que les concepteurs des programmes tunisiens, en suivant les orientations proposées par l’Unesco pouvant varier d’un pays à un autre (Bannout et Hussain, 1987), s’inspirent, voire même reprennent les directives des programmes français après quelques années de leur apparition en France. Cela montre bien une persistance de l’influence de la colonisation française en Tunisie et pourrait s’expliquer par un souci des concepteurs des programmes tunisiens de garder la même continuité que celle des programmes français, sans faire preuve, nécessairement, d’esprit critique.

• En 1978, une nouvelle réforme a été connue donnant lieu à des changements dans les programmes des années suivantes. Le décalage entre les idées fondatrices de la réforme des mathématiques modernes et la réalité des classes est manifeste. Comme l’a remarqué Artigue (1992) sur les conséquences de la réforme des mathématiques modernes introduite en France, l’enseignement dérive vers un formalisme privé de sens. Il s’imposait alors de renoncer à faire appréhender la démarche axiomatique qui n’a pas été perçue par tous les élèves. Par exemple, dans le programme officiel de 1986 (Tunisie, 1986) de 1ère année (équivalent 6ème française), il est mentionné “ Dans ses exposés, le professeur écartera toute présentation axiomatique d’une notion et proposera des activités susceptibles de consolider ses acquisitions antérieures ”. Dans une instruction du programme officiel de 1988 (Tunisie, 1988), relative au second cycle (3ème, 2nde, 1ère et Terminale françaises), Spécialité “ Maths-Sciences ” et “ Maths-techniques ”, il est noté “ Ces programmes (d’algèbre et de géométrie) ont été conçus de façon à éviter, dans la mesure du possible, toute présentation axiomatique des concepts et toute formalisation inutile ”. De plus, les programmes ont connu une réduction très sensible des notions ensemblistes. De ce fait, les centres d’intérêt du programme officiel (Tunisie 1978, 1982) ne sont plus la notion d’ensembles et les structures algébriques (Bannout et Hussain, 1987).

Certaines activités négligées par la réforme précédente, comme la géométrie classique, retrouvent, à nouveau, leur place dans les directives des programmes. Ainsi, cette nouvelle réforme a été caractérisée par le retour au statut privilégié de la géométrie accordant un intérêt particulier à l’étude des figures, aux constructions géométriques et à la géométrie dans l’espace. L’objectif est de familiariser les élèves à des méthodes centrées sur l’observation et l’analyse des figures, plutôt que de leur présenter un enchaînement aussi rigoureux que possible d’une théorie déjà toute faite. D’autre part, la présentation des concepts mathématiques et des modes de raisonnement se fait tôt et progressivement. Dans le programme de 1ère année (6ème française) cité ci-dessus (Tunisie, 1986), nous pouvons lire “ Les activités de géométrie amèneront l’élève à observer, à construire des figures géométriques, à les classifier selon un critère donné et à initier à des démonstrations simples ”. Notons que le délaissement d’une théorie axiomatique de la géométrie et la légitimation de l’enseignement de la géométrie, par son importance comme savoir de l’espace, a été connu dans plusieurs pays dont l’Allemagne (Strässer, 1990).

A la différence des programmes de la réforme de 1970, les éléments de logique sont utilisés, dans cette nouvelle réforme, avec prudence et sans qu’une référence explicite ne leur soit faite. De plus, la tendance à formaliser l’écriture mathématique est moins nette dans cette réforme des programmes que dans la précédente. Ainsi, dans le programme officiel de 1988, correspondant au niveau de 4ème (3ème française), il est recommandé que “ les éléments de logique seront manipulés au cours des apprentissages, bien qu’aucune référence dans les programmes n’y corresponde. L’enseignant guidera ses élèves à acquérir une bonne compréhension des concepts de logique par un entraînement continu à la justification des démarches et des raisonnements. Dans les écritures, l’emploi des symboles (Þ, Û, ", $) se fera graduellement, avec prudence et économie. Le symbole Û pourra être utilisé à partir de la 5ème année. Il aura sa pleine utilisation justifiée dans la rédaction des démonstrations faisant intervenir des conditions nécessaires et suffisantes ”. Ainsi, le degré de formalisme est nettement moins important dans les programmes de la nouvelle réforme que dans ceux de la précédente.

L’analyse de quelques programmes de cette réforme montre que l’enseignement des mathématiques, bien que restant centré sur la forme de la démonstration, lui accorde moins d’importance que la réforme précédente et s’intéresse plus à engager l’élève dans une activité de type géométrique.

• En 1991 (Tunisie, 1991), l’enseignement tunisien a connu une nouvelle réforme, désignée par « la réforme de l’Ecole de Base » qui consiste à instaurer:

- Une école de base de 9 ans remplaçant l’école primaire (6 ans) et le premier cycle de l’enseignement secondaire (3 ans). Au cours de ces années, l’enseignement des mathématiques est dispensé en arabe.

- Un enseignement secondaire de 4 ans qui remplace le deuxième cycle de l’enseignement secondaire actuel. Cet enseignement, entrant en application dès le mois de Septembre 1998, sera dispensé en français.

Dans cette réforme, la tendance de la réforme précédente se retrouve avec une évolution assez marquée. Elle vise à faire diminuer la prépondérance de la notion ensembliste et de l’algèbre linéaire dans les programmes. Ces deux dernières ne font plus l’objet d’une étude systématique. De plus, l’étude de la logique formelle disparaît des programmes et l’utilisation des quantificateurs n’est plus autorisée (El Hachfi, 1992). Dans les programmes officiels de 1993, nous lisons dans les instructions du programme de la 3ème secondaire (de la nouvelle réforme), sections Sciences expérimentales et Technique (correspondant à la 1^èreS française), qui est une année où l’enseignement des mathématiques occupe une place assez importante “ On habituera l’élève à intégrer dans son expression orale et écrite, les notions élémentaires de logique et on pourra, dans ce cadre, utiliser avec prudence les symboles de l’implication et de l’équivalence, mais on évitera l’emploi des symboles de quantification qui seront avantageusement remplacés par les expressions écrites correspondantes ”.

Par ailleurs, une place importante est accordée à l’enseignement de la géométrie classique dans le plan et dans l’espace. De ce fait, l’accent est mis sur l’utilisation des propriétés des figures et des transformations. L’enseignement de la géométrie est considéré comme fondamental dans la formation scientifique de l’élève. En effet, la figure géométrique est utilisée pour faire développer chez l’élève le sens de l’observation, la capacité de conjecturer, d’argumenter et de communiquer les résultats. De plus, les apprentissages sont centrés sur la résolution des problèmes et l’essentiel des efforts est focalisé sur l’acquisition de méthodes de résolution de problème. Cela nous incite à considérer que la démonstration apparaît comme une notion paramathématique de l’enseignement car elle est utilisée comme un outil de résolution des problèmes.

D’autre part, l’introduction des modes de raisonnement se fait tôt et progressivement. Dans les programmes de 1993 (Tunisie, 1993), les commentaires concernant les classes de 7ème, 8ème et 9ème années de l’enseignement de base (collège français) mentionnent “ Utiliser un raisonnement inductif, justifier un résultat chaque fois que cela est possible, utiliser un raisonnement déductif ”. De ce fait, l’accent est mis sur l’initiation au raisonnement déductif, dès la fin du primaire (annexes B).

De plus, les intentions pédagogiques exprimées par les auteurs des manuels montrent que la prise de conscience des notions et des propriétés doit résulter d’une véritable activité de l’élève. Par exemple, l’élève est appelé à démontrer lui-même certains résultats, l’importance de la rédaction des démonstrations et la nécessité d’en donner une formulation simple, claire et rigoureuse étant considérées comme des objectifs primordiaux de l’enseignement des mathématiques. D’autre part, des questions telles que “ Pensez-vous que... ”, “ Un élève affirme que... ”, “ est-il possible que... ” sont posées à l’élève afin qu’il critique certaines assertions ou conjectures.

D’autre part, comme a pu le remarquer Tarifa (1992), les programmes de géométrie du second cycle se caractérisent par:

- Une nouvelle répartition, selon les niveaux, des contenus des programmes antérieurs et la réduction de leur enveloppe globale.

- Le choix de maintenir un équilibre entre les domaines ponctuel, numérique et vectoriel.

- La détermination à donner à la géométrie dans l’espace une part importante des contenus.

Nous rappelons que notre recherche concerne le niveau de la 4ème actuelle (3ème française), correspondant à la 1ère année secondaire de la nouvelle réforme, dont l’enseignement n’est pas encore entré en application (nous écrivons ces lignes en avril 1998). Pour cela, notre intervention auprès des enseignants et des élèves n’a pu concerner que des classes suivant les programmes de l’enseignement actuel.

Bilan de l’analyse des programmes

Au terme de cet examen rapide des programmes, il apparaît que l’enseignement tunisien a connu quatre réformes importantes, depuis l’indépendance jusqu’à nos jours: en 1958, 1970, 1978 et 1991.

La première (1958) et la plus récente (1991) réformes se distinguent par une intention d’introduire des particularités de la culture tunisienne dans l’enseignement. En effet, la réforme des programmes de 1958 tient compte des particularités culturelles, géographiques etc. des élèves tunisiens et celle de 1991 transforme une partie de l’enseignement des mathématiques (premier cycle du secondaire qui correspond au collège en France), qui, auparavant, était dispensé en français, en un enseignement des mathématiques en langue arabe. Cependant, si la langue dans laquelle sont enseignées les mathématiques a changé, les contenus à enseigner restent très proches de ceux des programmes français.

La réforme de l’enseignement tunisien de 1970 (réforme des mathématiques modernes) met l’accent sur l’axiomatique et la démonstration apparaît comme un objet privilégié d’enseignement. La réforme de 1978 a connu une réduction importante de la présentation axiomatique et des notions ensemblistes. De plus, il y a eu un retour au statut privilégié de la géométrie et à la géométrie dans l’espace, ce qui marque l’importance accordée aux activités d’ordre pratique et à l’utilisation des matériaux et des objets du monde physique pour faire apparaître et justifier les idées mathématiques. Comme le précisent Bannout et Hussain (1987), « les thèmes des programmes de la réforme précédente sont réorganisés dans le but de tenir l’équilibre entre un enseignement géométrique dans lequel le concret physique remplace parfois l’idée mathématique et un enseignement structuré dans lequel on s’intéresse moins à l’exploitation de l’idée intuitive qui pourrait être suggérée par le support physique ».

Dans la dernière réforme de 1991, l’accent est mis sur l’activité de l’élève permettant de lui faire prendre conscience des notions étudiées. De plus, un intérêt particulier est accordé au raisonnement déductif. La démonstration apparaît comme un outil de résolution des problèmes. De ce fait, elle peut être considérée comme une notion paramathématique de l’enseignement de la géométrie.

Ces trois réformes présentent une grande similarité avec celles qu’ont connues les programmes en France entre les années 60 à 80. En effet, en 1969, l’enseignement des mathématiques en France a connu la réforme des mathématiques modernes (Berdonneau, 1981).Quelques années plus tard, un autre changement dans les programmes visant à réduire la présentation axiomatique et accordant un intérêt particulier à l’étude des figures et aux constructions géométriques a eu lieu (Artigue, 1992). Les programmes de 1978 précisent « Il n’est pas question de donner à l’élève une présentation axiomatique de la géométrie ».

Dans les programmes de 1985, le mot « démonstration » a disparu, l’initiation au raisonnement déductif est préconisée (Balacheff, 1988) ainsi que la découverte des connaissances par l’élève comme réponses à des problèmes. Le fait que des réformes, préconisant les mêmes idées, se soient instaurées en Tunisie après leur apparition en France montre une influence du curriculum français sur les concepteurs des programmes tunisiens, d’autant plus que nous avons constaté que certaines instructions du programme tunisien sont puisées, à la lettre, dans les textes de programmes français.

Par ailleurs, d’autres ressemblances apparaissent entre le curriculum français et tunisien, qui relateraient des conséquences persistantes de l’impact de la colonisation française sur l’enseignement tunisien. En plus des similarités entre certaines réformes ainsi que celles des contenus mathématiques à enseigner, nous avons pu observer que:

- Comme en France, l’initiation au raisonnement déductif commence dès la deuxième partie de l’enseignement de l’école de base (ce qui correspond au collège français), mais l’introduction de la démonstration se fait en classe de 3ème (4ème française), dans l’enseignement de la géométrie. A la fin de cette année, l’élève est censé être capable de faire une démonstration et cela devrait se poursuivre dans les années suivantes.

- Bien que les réformes qui ont suivi celle des mathématiques modernes ont déplacé leur problématique sur le sens des mathématiques (Artigue, 1992), visant que la démonstration soit un outil de résolution des problèmes, l’accent reste mis sur la forme de la démonstration plutôt que sur son sens comme outil de validation dans un débat scientifique, dans toutes les étapes qu’a connues l’enseignement des mathématiques, en Tunisie ou en France. En effet, comme l’a remarqué Arsac (1988), à la différence de la démonstration dans les mathématiques, dans l’enseignement « la démonstration apparaît comme algorithmisée, en ce sens que l’accent est mis sur l’aspect calcul logique à partir d’un ensemble d’énoncés, ce point de vue s’accompagnant d’une très forte insistance sur une forme stéréotypée (par exemple, l’écriture de l’hypothèse et de la conclusion, l’emploi du Si...alors) ».  Ce constat l’amène à considérer que la démonstration apparaît comme un objet d’enseignement largement indépendant des nécessités de la validation en mathématiques, ce qui engendre une perte de sens, phénomène bien connu tant en France qu’à l’étranger.