- Che cosé un conservatore? - domanda il giovane A .
- Figliolo, - gli risponde il vecchio B - un conservatore non é aItro che un rivoluzionario avanti negli anni. Questo dramma in due battute potrà non trovare tutti d'accordo quando si tratti di politica, ma ci pare quanto mai espressivo a proposito delle dispute matematiche che hanno accompagnato da sempre ogni evoluzione nei fondamenti della disciplina "che non possiede vie regie".
L'esempio più recente consiste nell'attegiamento mantenuto da troppi matematici nei confronti della cosiddetta Analisi Non-Standard. Tutti questi Signori, infatti, che nella loro giovinezza (giovinezza di categoria, non anagrafica si batterono accanto ai progressisti sostenitori del numero reale; questi signori che oggi riderebbero di chi come non pochi "grandi vecchi" dell'ottocento, si azzardasse a mettere in discussione la...realtà dei numeri reali; questi signori B, insomma, sostengono essi il ruolo dei "grandi vecchi" odierni combattendo lo stesso tipo di guerra santa nei confronti dei numeri iperreali. I numeri che stanno appunto a fondamento dell'Analisi Non-Standard.
Invece i signori A , giovani anch'essi come categoria, sebbene anagraficamente non di rado più anziani dei signori B , si. arrabattano a dimostrare (peraltro con pieno successo) la self-consistency dei numeri iperreali, a evidenziare i Preponderanti vantaggi del loro uso, ad ottenere addirittura risultati non ancora conseguiti dall'Analisi Standard, come ad esempio il teorema ormai classico di A.Bernstein sugli operatori completamente continui.
Non é mai saggio affermare nel corso di una contesa che questo o quell'altro dei contendenti abbia ragione. Vi sono tuttavia contese nelle quali é intellettualmente doveroso schierarsi da una parte precisa. Noi ci troviamo appunto dalla parte dei signori A .
Tuttavia, poiché almeno un argomento vogliamo portare fra i moltissimi che ci paiono a favore dell'Analisi Non-Standard, ci spingiamo ancora più indietro che non ai tempi di Dedekind e di Du Bois Reymond: ci riportiamo nientemeno che all'epoca delle dispute sulla legittimità dei numeri immaginari.
E domandiamo:
1) non é forse vero che tutti i risultati ottenibili tramite il campo complesso si possono perfettamente acquisire senza ricorso formale a questo campo?
2) non é forse vero che tuttavia ciò comporterebbe l'adozione di un linguaggio contorto, se non involuto, e che su basi puramente formali si manifesterebbe alla fine una prolissa raccolta di circonlocuzioni inutili?
3) non é forse vero che i fisici si sparerebbero addosso se, una volta scopertaci la vocazione dei puristi a corto di argomentazioni, sottraessimo loro il vecchio, caro numero a+ib ?

Sono tre punti, all'apparenza, ma il lettore attento si accorgerà subito che concorrono ad un'unica argomentazione: e ciò che oggi più che mai (intendiamo da quando il teorema di Lowenheim-Skolem ci ha privato dell'ultima illusione sulla possibilità di creare un sistema d'assiomi categorico) dispute come quelle pro o contro l'iperreale, pro o contro il reale, pro o contro l'immaginario mostrano una corda logora in più rispetto alla loro antistoricità: rivelano in chi le promuove l'incapacità di riconoscere che compito della Matematica é quello di scegliere il linguaggio più idoneo ad affrontare con rigore, rapidità ed eleganza i problemi che le venaono posti o che essa stessa si pone. E magari, quando riesce, di risolverli.
 

A dispetto della mia requisitoria appena conclusa, nel testo non ho mai voluto forzare la mano insinuando ambigue certezze nella mente del lettore-allievo.
Intendo dire che, laddove avrei potuto rassicurarlo sul. "sostanziale" isomorfismo ordinato fra i vari campi iperreali, ho preferito invece mettere in luce che tale isomorfismo ha carattere eminentemente algebrico, giacché per quanto riguarda l'ordinamento lo si può ottenere solo a un certo prezzo: l'ipotesi del continuo.
Questo risultato (comunicatomi già diversi anni or sono da W.S.Hatcher prima della comparsa del suo lavoro sulla struttura d'ordine di R , in collaborazione con C.Laflamme) é tuttavia d'enorme importanza: e in verità, quanti matematici hanno avuto a che fare con un modello della teoria
degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel nel quale valga l'assioma di scelta, ma non l'ipotesi del. continuo?
(Il teorema contenuto nel lavoro di Hatcher si basa su di un risultato di P.Erdos, L.Gillman e M.Henrikson del 1955).

Meditato, elaborato e scritto per studenti del primo corso di Analisi Matematica del Biennio universitario, questo volumetto potrebbe ugualmente bene indirizzarsi a non pochi laureati in Matematica, Fisica, etc.
Non si tratta di un paradosso: é soltanto una maniera di dichiarare che l'intento del libro é quello di aprire un varco per l'Analisi Non-Standard nella formazione di base di coloro che usciranno, o sono usciti dalle Facoltà scientifiche, e in primo luogo dai Corsi di Laurea in Matematica od in Fisica.
Questa circostanza (non certo per merito o colpa di chi scrive) ne fa un'opera obiettivamente originale, o quanto meno appartenente ad una schiera così sparuta da indurre chiunque a chiedersi: quale vera ragione si nasconde sotto la tenace "congiura del silenzio" decretata nei confronti delle discipline non-standard in generale?
Noi possediamo un'opinione al riguardo abbastanza definita, ma poiché assai bene la troviamo espressa in un articolo di M.Davis e R.Hersch comparso su "Scientific American" nel 1972, preferiamo riportare le parole di questi autori:
"Sono stati pubblicati lavori sulla Dinamica non Standard e sulla Probabilità Non-Standard. Robinson e il suo allievo Allen Bernstein hanno fatto uso dell'Analisi Non-Standard per risolvere un problema - precedentemente insoluto - riouardante gli operatori lineari compatti. Si deve nondimeno dire che molti analisti restano scettici a proposito dell'importanza ultima del metodo di Robinson. E' del tutto vero che ogni cosa che può esser fatta con gli infinitesimi può,in linea di principio,
esser fatta senza di essi. Forse, come per altre radicali innovazioni, un uso esaustivo delle nuove idee sarà fatto da una nuova generazione di matematici, non tanto immersi nei metodi standard da non poter godere della libertà e delle ampie possibilità dell'Analisi Non-Standard".

Ebbene, se una tale nuova stagione di studi deve aprirsi (e noi crediamo che debba), non sarà certo tacendo dei numeri iperreali che si potrà inaugurarla! Lo scopo di questo testo é appunto quello, e solo quello, di introdurre i non addetti ai lavori all'uso di un campo di numeri ierreali. Tutto ciò senza rischiare d'altro canto una di quelle tipiche operazioni inculturali che si traducono nella messa a punto d'un "manuale d'uso" , per ricorrere a una locuzione con cui meritatamente andrebbero catalogati certi espedienti pseudo-pratici.
Si é tuttavia intenzionalmente rifuggita anche l'impostazione assiomatica totalitaria, che a nostro giudizio contribuisce non poco ad ingenerare nell'allievo i primi sospetti e i primi disagi già nell'ambito dei numeri reali; e si é preferito il metodo degli ampliamenti, talora attraverso la tecnica del campo quoziente rispetto a un ideale massimale, talaltra facendo ricorso a famiglie di filtri (ultrafiltri, nella fattispecie).

Ma in ogni caso la struttura d'approccio adottata, o esplicitamente o come sottinteso logico, é quella piu familiare: i numeri interi, ovviamente. Si spiega così la presenza di un primo capitolo assai discorsivo, quando non volutamente sovrabbondante, volto ad illustrare il metodo del campo quoziente in s* e per s*, vale a dire senza lo specifico obiettivo degli ampliamenti: tanto é vero che il modello su cui si lavora é quello delle classi resto modulo un numero primo.
Nel secondo capitolo si passa alla costruzione dei numeri reali, evidentemente con procedura cantoriana; e qui l'esposizione si va facendo più rigorosa, fino a diventare quasi rigida e comunque tecnicamente in linea con lo stile dell'Analisi Matematica più classicamente intesa. E' questo il capitolo col quale massimamente deve esercitarsi l'impegno dello studioso, poiché esso, pur non cosituendo l'obiettivo terminale dell'opera, é tuttavia mirato a predisporre il terreno di giuoco su cui si deciderà la partita con la compagine iperreale.
Per tutte queste ragioni, nel. terzo capitolo,o si procede sperando di aver promosso, attraverso il. secondo, sia un atteggiamento più intransigente verso un intuizione spesso fallace, sia una sufficiente autonomia nei confronti di un supertecnicismo di cattiva lega; e così si adotta un'impostazione stilistica abbastanza asciutta, evitando (per dirne una) quella numerazione qualificativa degli asserti che, se é indispensabile fino a quando l'allievo non si é assuefatto a distinguere a colpo d'occhio definizioni, assiomi e teoremi, può invece riuscire esasperante per il lettore ormai smaliziato. Qualità questa che appunto ci si augura acquisita una volta giunti al capitolo sugli iperreali.
Qualcuno potrà trovare eccessivamente composito, se non eterogeno, un simile criterio di stesura. Ciò che noi possiamo dire a suo sostegno é che una sperirmentazione ormai pluriennale ne ha confermato l'efficacia, rispetto al non facile compito di esorcizzare per gli studenti di un primo anno d'Università i... fantasmi delle quantita svanite, per dirla col Vescovo Berkeley.

Premesse. pag. 5
Elenco dei simboli. pag.13

CAPITOLO I
Un metodo per costruire nuovi numeri. pag.15
Una vecchia conoscenza: le numerazioni. pag.17
Un pò di nomenclatura: l'anello. pag.19
L'ideale: come una numerazione diventa numero. pag.21
Una fenice aritmetica: la tavola pitagorica .pag.25
Prime sorprese: due più due non fa quattro. pag.27
Tentativi di generalizzazione: un insuccesso? pag.30
Un ospite sgradito: il "divisore dello zero". pag.34
La chiave del rebus: i numeri primi. pag.37
L'ideale massimale, ovvero: le frontiere ultime. pag.40

CAPITOLO II
Dall 'ente-numero al numero-procedimento pag.43
La diagonale del quadrato: una disfatta per i razionali . paag.45
Successioni "convergenti": ancora un anello. pag.49
"Zero-successioni": ancora un ideale. pag.57
Il campo reale: non più lacune. pag.59
La proprietà di Archimede: non esiste l'irraggiungibile? pag.59
Limiti ed estremi: il "principio" di Dedekind comincia a far prodigi. pag.76

CAPlTOLO III
La riabilitazione degli infinitesimi . . . - . pag.83
Un concorrente dell'ideale massimale: l'ultrafiltro libero. pag.85
Le grandi famiglie: "rilevanza" degli insiemi . pag.86
Tutto e subito: rispunta il lemma di Zom . pag.88
R-equivalenza: un altro espediente per costruire nuovi numeri . pag.91
Il campo iperreale: esiste l'irraggiungibile . pag.93
Parti standard: il "principio" di Dedekind non smette di lavorare . pag.98
L'estensione canonica: si può fare . pag.98
Analisi con infinitesimi e infiniti. pag.101
Disgressione sugli ideali: rispunta il lemma di Krull . pag.105
Gli iperreali servono: impariamo ad usarli . pag.107

APPENDICI
Gli Assiomi di Peano per i numeri naturali . pag.115
L'Assioma di Zermelo. pag.119
La genesi dell'Ultrafiltro libero. pag.123
Algebra spicciola per gli iperreali . pag. 129