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'IrxX[V̭ݱe.]"Bsg|<8͕/Ė::709?7ݱuNTlϽǖ?? ~R>zR|obGw/QӻQқ+=kSγ~fX.w*)&0`x 3zΌ[l_ s*9~ש}<,zLe|jw<1_ootT%z8[>~׹u}+E{Eb}j)qODׯyw37ps'2(EЌ%5B_ne`!k:~k&]  |Vxڥ]HQܹ3sw67S($%Q _zɧR ! 5PX^|x(-}HÒzI 2 >ɏ?(Ujwν׹=sf;r2S! mGc CXf*|Qhbs.J"9hdgf] $jD6wiHoA!vwCPyE&Yޔ -K,r;-Să"'-{KicQ poG{"ޓx뉁0y/+үbڐ(9.bGB_Zw)ᘮu-bWFW&@,߹uΰF"|⾏7疉ɐ$@ 7"qկaTJ[biyOu Sm;Ρd5s:fέ2ɇXp>*˪:gD|Fy AWԙ΋&,3"?zH_猈<7؟DosҞvƺKnٶDmK2qi/A݉gyoOs.o`p54߿Uj/b}ܧ"Wg_rIH n0ބj&DיDӿHcΕ*#z=1 /6..oeGOc;qQ}E;C^EƓ{`D`!lw(-T`*xmRJQ{}dp"W IHTAK1IeA . ;+JoD !`|esΜ;s">pD(DhR -}_Z“- A i[@w"7l5I FAz\YԵ'Hq3 Nċ[#E*aZ Ծvϊw)ZV(:Oynh ԀTӓ.Z?z+T3Cp5٩{0fE8g g&uvV35<|$5Пc|Z? b3~)ug}fjLнmQA'$/f͕̂9TfzOBfㅳ _`!"ҭ8ID*1 @"xڝTAKA~fI!nE"-x[YP(4*5,x(ģG@oA<E֛WI5-3f7*hw}|ͼogA!nWB4F2f#a:-q,+CNẊ~Qc5YNc-GЗ xzpEbZfJAnxnٹ"[KlpO=;*dSU_EJњx vMNhuLOɹjeZ񽉅QݹrPY~Qi>.wj%~Ʒ_b w3 _]~ \>3oyф?_RNriy6g>6h 1[jF>šs5]7o`!,v*L_E @v"xڕS+DQ>;\Ӑ$呔4~b,PSAL^YXJVL66H k,罼}snA?2GL2FCMem5$b2xŐR5%P9ILyn[.*W' =2nk-tԌ 2+qGDq֪\iv-Ox~\چ57D ,,D{ ОӾfR3^t"j:3`F~ IW:uxE C\6w9H8, ՗*x٥psؗpu:]B\1υ?oa~4\X[|0e~Ƨ b}\>=I/@Wb^)3ȼ+]VŒF`ӈi9uk=&`!VQWU:Sxcdd`` @c112BYL%bpuLa sezione aurea e la geometriaT@Breve storia della sezione aurea@,Definizione geometricahTLa Sezione Aurea negli Elementi di EuclideN:La misura della sezione aurea6"Il rapporto aureoCostruzione di un segmento del quale si conosce la parte aurear^La parte aurea della parte aurea di un segmento`LLa costruzione di Erone di Alessandria:&Il rettangolo aureo4 La spirale aurea~jTriangolo aureo con angoli di misura: 72, 72, 36.r^Triangolo con angoli di misura: 36, 36, 108.hTIl pentagono e triangoli in esso contenuti6"Il compasso aureoR>Biografia di Leonardo Fibonacci>*La serie di FibonaccinZI numeri di Fibonacci nel triangolo di PascalL8Somma di numeri di Fibonaccir^Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci|hLegame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureofRUna formula notevole: la formula di BinetR>La sezione aurea e l Aritmetica ; <:&257,3,Diapositiva 3:&proposizione II. 6                                 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3: &257,3,Diapositiva 3  : &257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3 :&257,3,Diapositiva 3  :!&257,3,Diapositiva 3:$&257,3,Diapositiva 3:'&257,3,Diapositiva 3 ):*&257,3,Diapositiva 3 ,:-&257,3,Diapositiva 3 /:0&257,3,Diapositiva 3 2:3&257,3,Diapositiva 3 5:6&257,3,Diapositiva 3 8:9&257,3,Diapositiva 3 ;:<&257,3,Diapositiva 3 >:?&257,3,Diapositiva 3 A:B&257,3,Diapositiva 3 D:E&257,3,Diapositiva 3 G:H&257,3,Diapositiva 3 J:K&257,3,Diapositiva 3 M:N&257,3,Diapositiva 3 P:Q&257,3,Diapositiva 3 S:T&257,3,Diapositiva 3 V:W&257,3,Diapositiva 3 Y:Z&257,3,Diapositiva 3 \ ] ^ _:`&257,3,Diapositiva 3 b c:d&257,3,Diapositiva 3 f g:h&257,3,Diapositiva 3 j k:l&257,3,Diapositiva 3 n o:p&257,3,Diapositiva 3 r s:t&257,3,Diapositiva 3 v w:x&257,3,Diapositiva 3 z {:|&257,3,Diapositiva 3 ~ :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3:&257,3,Diapositiva 3:&257,3,Diapositiva 3:&257,3,Diapositiva 3:&257,3,Diapositiva 3:&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 3  :&257,3,Diapositiva 30rapporto aureo(clicca qui0Diapositiva 100Diapositiva 62N:Propriet del rapporto aureo vbla dimostrazione mediante il teorema di Pitagora ~jla dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni(clicca qui:&257,3,Diapositiva 3N:Propriet del rapporto aureo      :&257,3,Diapositiva 3 *Propriet.1*Propriet.2*Propriet.3*Propriet.40Diapositiva 50N:Propriet del rapporto aureo VBPropriet dei numeri di Fibonacci0Diapositiva 590 Diapositiva 600 Diapositiva 610Diapositiva 620Diapositiva 630Diapositiva 50/ 0DTimes New Roman1bbv 0b( 0DVerdanaw Roman1bbv 0b( 0" DTahomaw Roman1bbv 0b( 0"0DArialw Roman1bbv 0b( 0"@DLucida Sansman1bbv 0b( 0"PDLucida Bright Math Italicb( 0`DUniversalMath1 BT Italicb( 0pDMS Sans Serif BT Italicb( 0DCentury SchoolbookItalicb( 0DArial Unicode MSkItalicb( 0 b . @n?" dd@  @@`` : 2 l[B    '4<*:  FH !&" # $$%'&' () * +,:-! /  ' 01 23 4 5678 > ? 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Vediamo di spiegare meglio questo concetto partendo da Euclide."@" &La prima trattazione sistematica della sezione aurea si trova negli Elementi di Euclide, che di gran lunga il matematico pi conosciuto di tutti i tempi. Purtroppo non sappiamo n l anno della sua nascita n quello della morte, ma solo che visse ad Alessandria d Egitto sotto il regno di Tolomeo I, insegnando nel famoso Museo della citt, ove fond la prima scuola di matematica alessandrina. Le opere di Euclide pervenute sino a noi sono in tutto cinque: gli Elementi, i Dati, la Divisione delle figure, i Fenomeni e l Ottica. D" ""","C" """""" "" ""  Gli Elementi sono stati tradotti in quasi tutte le lingue conosciute e sono stati presi a modello da centinaia di matematici per la compilazione delle loro opere. I libri originali che formano gli Elementi sono in tutto tredici, anche se in epoca posteriore ne vennero aggiunti altri due. il merito maggiore del matematico greco rimane quello di aver saputo organizzare tutto il complesso delle conoscenze del suo tempo in una forma che agli occhi dei suoi contemporanei rappresent la perfezione del sapere scientifico. I teoremi, dai pi semplici a quelli pi profondi, si susseguono con difficolt crescente, insieme ai lemmi ed ai corollari, in una concatenazione ordinata. Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II e poi nel VI, facendone alcune applicazioni, ma essa viene utilizzata ampiamente solo nel Libro XIII, l ultimo degli Elementi, dedicato allo studio dei cosiddetti poliedri regolari, cio d quei solidi le cui facce sono poligoni regolari uguali e i cui angoloidi sono pure tutti uguali. " &" ":""""="" ""T""" """dLNella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema:  Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente. Premesso che con la parola retta Euclide intende segmento di retta, per visualizzare la costruzione geometrica del punto che divide il segmento dato nel modo richiesto clicca in un punto qualsiasi della pagina. ""&""&&"""#"~""{&QSe AB il segmento dato, su di esso si costruisce innanzitutto il quadrato ABCD.0R""J"2'  v Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene riconsiderato da Euclide nel libro VI (che tratta le propriet dei poligoni simili) utilizzando la teoria delle proporzioni esposta nel libro precedente. All inizio dello stesso libro nella Definizione 3 parla di sezione aurea sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione:  Si dice che una retta risulta divisa in estrema e media ragione quando tutta quanta la retta sta alla parte maggiore di essa come la parte maggiore sta a quella minore Facendo riferimento alla figura, ci significa che bisogna determinare il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB, ovvero tale che AB:AX=AX:XB iZZZZ"""Q"&&"( 3(  "}A questo punto Euclide applica la proposizione VI,29 che ci permette di costruire un rettangolo equivalente al quadrato ABHC.~~"  Sottraendo sia ad ABHC che a CFDK, il rettangolo comune AEFC, si otterranno due figure pure equivalenti, cio AEDK ed EBHF. A queste figure Euclide applica la proposizione VI,14 che afferma:  Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi gli angoli rispettivamente uguali, i lati intorno agli angoli uguali sono inversamente proporzionali , quindi sussiste la proporzione FE:ED = AE:EB, tenendo conto che FE= AB ed ED=AE risulta AB:AE = AE:EB. Quindi E il punto cercato.zZZZ"&&&"  "se consideriamo la lunghezza a di AC come unitaria, cio AC=1 e indichiamo quella di AB con x, allora si pu scrivere la proporzione 1:x =x:(1-x) da cui si ha l equazione di 2o grado x2+x-1 =0 la quale ammette due radici: -1+"5 e -1-"5 2 2 ' "D"* "*"*"""""""D -1+"5 -1-"5 2 2 La seconda di queste (che vale -1.618...) deve essere scartata perch un segmento non pu avere lunghezza negativa e quindi ci rimane solo la prima, che rappresenta proprio la misura di AB, sezione aurea di AC ed un numero irrazionale che vale all incirca 0.61803398875. `!U""""C"Il rapporto aureo *&!" Esso solitamente viene indicato con la lettera greca ), in onore del sommo scultore Fidia, del cui nome l iniziale. Il suo valore si calcola facilmente, infatti tenendo conto del valore della sezione aurea AX, segue subito ) = AB = 1 = 2 = AX AX ("5-1) Razionalizzando otteniamo: ) = 2 " "5+1 = 2("5+1) = "5+1 = "5+1- 1= ("5-1) + 1 ("5-1) "5+1 5+"5-"5-1 2 2 2 2 quindi il rapporto aureo sar: ) = AX+1H"1,618"5"?"""n""""""" """""""""""""""""""""F""!"""""t  D altra parte, la proporzione AB:AX = AX:XB pu essere scritta come AB:AX = AX:(AB-AX) o nella forma di uguaglianza di rapporti come: AB/AX = AX/(AB-AX), AX/(AB-AX) lo possiamo scrivere come 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1) AB/AX = 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1) Questa proporzione, essendo ) = AB/AX, dar luogo all equazione ) = 1/() -1), ovvero ) 2- ) -1=0 le cui radici sono: ) = 1+"5 e ) = 1-"5 2 2 la prima radice rappresenta proprio il valore del rapporto aureo. B/A$"" """"""."""B"#"""#""" "*"""""" """"""A""` 0B#Propriet del rapporto aureo &&! Il numero ) irrazionale, cio un numero decimale illimitato e aperiodico, poich pu essere scritto come ) = 1/2+ " 5/2, ed quindi dato dalla somma di un numero razionale e di uno irrazionale. Senza alcun dubbio, esso il numero algebrico che gode di propriet algebriche e geometriche molto interessanti,come, per esempio, le seguenti: a) ) l unico numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando 1 a ) stesso : )2= ) +1, () soddisfa l equazione di 2o grado x2+x-1 =0) b)) l unico numero positivo il cui inverso si ottiene sottraendo 1 a ) stesso ) -1=1/ ); c) altre due relazioni molto interessanti sono quelle che si ricavano sommando e moltiplicando i valori di ) e di ) . Si ottiene: " ) =-1 e ) + ) =1 Se vuoi sapere di pi sull irrazionalit di ) clicca quiZ)Z)ZX)Z" """_""""""N""""""B"""*""""""* "*"*"""""D"""""""k"""" """ """""1"%"6( !06@La risoluzione di questo problema viene effettuata in tre fasi. Riferendoci alla figura, se AH la parte aurea del segmento che si vuole costruire, si determina innanzitutto la parte aurea AC di AH, quindi si prolunga AH di un segmento HB =AC. Il segmento AB sar quello cercato."La verifica immediata. Infatti poich AH:AC =AC:CH, per una propriet delle proporzioni si pu scrivere: (AH+AC):AH = (AC+CH):AC poich HB =AC avremo (AH+HB):AH = AH:HB per cui infine si ottiene il risultato AB:AH = AH:HB.k'j""""""""&"""4k R3 La parte aurea della parte aurea di un segmento ^4"/&!""""3Per una nota propriet delle proporzioni si ricava: (AB-AH):AH = (AH-HB):HB dalla quale,visto che AB-AH= HB si ottiene HB:AH = (AH-HB):HB da cui invertendo i rapporti si ha: AH:HB = HB:(AH-HB). E questo per definizione equivale a dire che la parte aurea di AH (che parte aurea di AB) non altro che il segmento restante HB. Riportando HB su AH, dal punto A, la parte aurea di AH sar AK.  4-%3"""",""""$""""?"""`44 Procedendo allo stesso modo,come rappresentato in figura, si otterr una successione di sezioni auree all infinito.vv" !( La costruzione di Erone di Alessandria 4)"&&!BOltre alle due costruzioni di Euclide, un altra costruzione della sezione aurea venne proposta dal matematico greco Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il III secolo d.C.). Egli fu anche uno scrittore enciclopedico di matematica e fisica, le cui opere, giunteci quasi intatte, furono raccolte in quattro volumi editi a Lipsia tra il 1899 e il 1914, con il titolo Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia. :q"."">s " Il segmento AD la sezione aurea di AB. Proveremo che AD effettivamente la sezione aurea di AB tramite due dimostrazioni: la dimostrazione mediante il teorema di Pitagora e la dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni. 0Z"h""!0~!0#.Dimostrazione mediante il teorema di Pitagora ,/-&& AC2 = AB2+BC2 = AB2+(AB/2)2 dalla quale, essendo AC =AR+RC = AD+CB = AD+AB/2 si ottiene: (AD+AB/2)2 = AB2+(AB/2)2 sviluppando i quadrati AD2+(AB/2)2+ (AD"AB) = AB2+(AB/2)2 dopo brevi passaggi otteniamo AD2= AB2- (AD"AB) = AB(AB-AD)  #(2""*"*"*"*"*""""" "" "*"*"*""""*"*"*"*""*"*""`>#$2Dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni33AQ:AB = AB:AR Applichiamo ad essa la propriet dello scomporre: (AQ-AB):AB = (AB-AR):AR. Poich per costruzione AB =RQ e AR=AD si ha che: (AQ-AB) = (AQ-RQ) =AR =AD e (AB-AR) = (AB-AD) =DB La proporzione diventa: AD:AB = DB:AR.Z2ZZ1Z6Z5Z ""1""""0""5""4""b 325%Se disegniamo un rettangolo in cui l altezza sia la sezione aurea della base otteniamo il pi bello , armonico rettangolo tra gli infiniti rettangoli che si possano disegnare e questo spiega la frequenza con cui esso compare in arte <#")"""--si segni il segmento BE perpendicolare ad AB .-"&Questa costruzione ci permette, avendo a disposizione un segmento AC, di poter determinare un secondo segmento CB tale che il rapporto AC/CB sia aureo. "0per cui risulta: AC/CB = 1/(5-1)/2 = (5+1)/2 = ) Inoltre anche il rapporto AB/AC aureo,perch si ha AB/AC = (AC+CB)/AB = 1+[(5-1)/2]/1 = (5+1)/2 = ) !51"""N""""4 8/'Ripetendo la costruzione di un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo si ottengono tanti rettangoli in cui il rapporto tra le due dimensioni sempre la sezione aurea."",CB=BF dimostreremo che BE : BF = BF : FE Infatti se AB : AC = AC : CB CB = AB  AC AB : AC = AC : ( AB-AC) invertendo antecedenti e conseguenti AC : AB = ( AB-AC ) : AC applicando la propriet dello scomporre AC : ( AB-AC) = (AB-AC) : ( AC-CB) Siccome AC= BE, AB-AC=BF, CB= BF, AC-CB = BE-BF=FE quindi BE : BF = BF : FE""""r""]""d"""")""""" M&f  ) L(La spirale aurea &&!jLa Spirale Aurea basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureokk")(Se all interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sar anch esso un rettangolo aureo. Si ripeta l operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua. " *4Triangolo aureo con angoli di misura: 72, 72, 36(54&!"Dato un triangolo isoscele ABC i cui angoli alla base misurano 72 ciascuno, e l angolo al vertice misura 36, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Tracciamo la bisettrice dell angolo in B fino a farla intersecare con il lato AC nel punto D. In questo modo si formeranno due triangoli: il triangolo ABD, isoscele poich gli angoli alla base misurano 36o ciascuno, e il triangolo BCD. F"*""+/Triangolo con angoli di misura: 36, 36, 108 &0.&!$Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36 ciascuno, e l angolo al vertice misura 108, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE simile al triangolo ABD del triangolo aureo.  ", Il pentagono stellato &&!La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . """-!+Il pentagono e triangoli in esso contenuti &,*&!All interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72, 72, 36, con le propriet spiegate in precedenza.  "." 8 Le diagonali del pentagono definiscono inoltre un nuovo pentagono, di cui possiamo ancora tracciare le diagonali che definiscono un nuovo pentagono e cos via in una successione senza fine, dove ogni segmento costruisce con il segmento di ordine inferiore, un rapporto il cui valore sempre il numero d'oro.,9"4"/#Il compasso aureo (&!" Una volta noto il rapporto aureo,si cercato di avere uno strumento pratico che all occorrenza potesse servire per determinare la parte aurea di un dato segmento in modo rapido, specialmente per i bisogni immediati di un disegnatore tecnico. stato cos inventato il compasso aureo, dovuto ad Adalbert Geringer . <DZ@"#",0$ v Il compasso si costruisce con quattro aste che denotiamo con DM,MB,CE,EA. Le aste sono incernierate in M,C ed A in modo che sussistano le relazioni seguenti: DM=MB, DM/DC=MB/MA=) , AB=AE, CE=ED. le punte delle aste del compasso si fanno coincidere con gli estremi B e D il punto E divide la distanza BD in base alla sezione aurea. Infatti, dalla similitudine dei triangoli DMB e DCE si ricava: DB:DE =MB:CE, dalla quale, in virt dell uguaglianza tra CE ed MA, si ottiene: DB/DE=MB/MA= ) La cosa si ripete sempre, qualsiasi sia la distanza tra B e D. &ED""""-""E"`  F  H6+@LA SEZIONE AUREA E L ARITMETICA .!&!&!Biografia di Leonardo Fibonacci La serie di Fibonacci I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal Somma di numeri di Fibonacci Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci Legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo - Una formula notevole: la formula di Binet -. """".""""0""5"",""&/4#!0!0!6!08e!0g!0!0!07,Biografia di Leonardo Fibonacci &!8 Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era responsabile del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci port suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e cos provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicur l aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mand in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l opportunit offertagli dai suoi viaggi all estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Intorno al 1200, Fibonacci torn a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavor alle sue personali composizioni matematiche. """'#9 ^< 8-9. La serie di Fibonacci 0 &! Durante il soggiorno di Federico II a Pisa, si svolse un singolare torneo dove si sfidano abachisti e algoritmisti armati di carta, penna e pallottoliere che dimostra in via definitiva come con le tecniche di calcolo secondo il metodo appreso dagli arabi si potessero effettuare calcoli complessi pi velocemente che con qualsiasi abaco. Fibonacci risolve il problema con una velocit tale da far persino sospettare che la gara fosse truccata. Il problema posto era il seguente: quante coppie di conigli si ottengono in 12 mesi posto che ogni coppia dia alla luce una nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in grado di riprodursi gi al secondo mese di vita? La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233& .dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due precedenti. Vediamo la soluzione proposta da Fibonacci: "Z"6Y  :/ KAlla fine del primo mese ci sar ancora 1 sola coppia. Alla fine del secondo mese la femmina genera una nuova coppia per cui ora si hanno 2 coppie. Alla fine del terzo mese la femmina iniziale genera una nuova coppia dando luogo a 3 coppie, mentre la femmina nata il mese precedente rester incinta ma partorir solo fra un mese. LL";0<1/I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal (0.&!"&  Il triangolo di Pascal una configurazione di numeri interi a forma di triangolo che prende il nome dal filosofo, fisico e matematico francese Blaise Pascal (1632-1662) che lo us per ricavare i coefficienti dello sviluppo binomiale. La caratteristica pi rilevante del triangolo di Pascal che ogni elemento di una riga la somma dei due elementi consecutivi che stanno nella riga precedente, cos 6=3+3, 4=3+1& Questa regola molto simile a quella che genera la successione di Fibonacci. """PyB 6=2>3Somma di numeri di Fibonacci(&!" Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G... Se si sommano due o pi numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci, che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma: ( A+B+C+1 = E ) Esempi: Consideriamo la serie di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233& . Sommiamo i primi cinque numeri di Fibonacci e aggiungiamo uno 1+1+2+3+5+1 = 13 otteniamo il settimo numero della sequenza. Stavolta sommiamo i primi undici numeri e aggiungiamo uno 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233 in questo caso si ottenuto il tredicesimo numero della sequenza. "?4 f Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza. Esempi: Consideriamo la serie di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233& . 32+52=34 In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne fatto il quadrato e la somma fra i quadrati risultata essere il nono numero di Fibonacci. 82+132= 233 In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.~R"*"*"*"*"@5/Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci(0/&!" Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina tramite l algoritmo euclideo delle divisioni successive il massimo comune divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Algoritmo euclideo delle divisioni successive Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q1 e per resto r1. Le divisioni si succederanno fino a quando il resto non sar nullo. Otteniamo: a = bq1 + r1 con 0 < r1 < b b = r1q2 + r2 0 < r2 < r1 r1= r2q3 + r3 0 < r3 < r2 : : rn-2= rn-1qn + rn 0 < rn < rn-1 rn-1= rnqn+1 + 0 rn l ultimo resto non nullo e quindi il M.C.D. tra a e b. J"".&/"*"*e"*"*#"*"*"*"*$"*"*"*"*"*"*$"*"*" *9"*"*"*"* "*"*"*"*"*"*;"Pq < ; @  ;A6 j Consideriamo la serie di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946& & & Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci: 6765 e 610 6765 = 610 x 11 + 55 610 = 55 x 11 + 5 55 = 5 x 11 il massimo comune divisore l ultimo resto non nullo,quindi 5. Il fatto che il massimo comune divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero della serie di Fibonacci, il 5, non pura coincidenza. Per saperne di pi su questa ed altre propriet dei numeri di Fibonacci clicca qui. "6Z5""(!0(2G<5Legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo &64&!\ Un osservazione di tipo pratico che collega la successione di Fibonacci con la sezione aurea la seguente: se ciascun numero diviene l'area d'un quadrato, possibile accostarli ottenendo tanti rettangoli aurei,quindi rettangoli in cui il rapporto tra le due dimensioni sempre la sezione aurea.8/""N"H= ( Robert Simson nel 1735 not che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre pi a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo. Calcoliamo il rapporto tra due termini successivi della successione e disponiamo i risultati in due colonneD)"""n"V>*Una formula notevole: la formula di Binet (+)&!"#J La formula ricorsiva che governa la legge di formazione dei numeri di Fibonacci non per nulla agevole per il calcolo dei vari termini della successione, in quanto per calcolare un termine qualsiasi necessario conoscere i due termini che lo precedono. Fortunatamente stata trovata una formula notevole, la formula di Binet, che lega l n-simo termine della successione con il posto n in cui esso si trova:.Z""P 2 BW? .La formula di Binet ci permette di dimostrare che: lim = ) = con n che tende a infinito lim =lim =lim = lim =lim = poich -1< < 1 allora , lim = 4E"R" ,#!, 70    Tutte le operazioni che sono state utilizzate per dimostrare la proposizione II. 11 , cio la costruzione di un quadrato di lato assegnato, la determinazione del punto medio di un segmento, il prolungamento di un segmento e la determinazione di un segmento congruente ad un altro, sono tutte permesse perch Euclide le ha trattate prima. Per dimostrare la proposizione, Euclide utilizza inoltre la teoria dell equivalenza delle figure piane, che viene trattata pure nel Libro II. Egli applica la proposizione II. 6 , nella quale si afferma che se AB un segmento diviso a met dal punto M, e viene prolungato del segmento BN,{"A" """" "&'&#""""I""x4)5*g@!Propriet dei numeri di Fibonacci"" ZPropriet.1:  Due numeri di Fibonacci consecutivi sono coprimi Propriet.2:  Per ogni n e ogni k risulta Fib(n+k)=Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n) Propriet.3: Fib(kn) multiplo di Fib(n) Propriet.4: Il massimo comune divisore di due numeri di Fibonacci ancora un numero di Fibonacci, precisamente: MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n)  &6" &^" &!" &"N 6   .-!0 !0AL!0!0B7 zPropriet.1:  Due numeri di Fibonacci consecutivi sono coprimi . DIMOSTRAZIONE: supponiamo per assurdo che esista un d>1 che divida Fib(n) e Fib(n+1) allora divider anche la loro somma, cio Fib(n)+Fib(n+1) e la loro differenza, cio Fib(n+1)-Fib(n), ma per la relazione ricorsiva che definisce la successione di Fibonacci, si ha: Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) ponendo n=n+1 avremo Fib(n+1)=Fib(n)+ Fib(n-1) da cui Fib(n-1)= Fib(n+1)- Fib(n). Dunque d/ Fib(n-1), iterando d dovr dividere Fib(2)=1 il che assurdo. 2> &2"L4  2!  C8 <Propriet.2:  Per ogni n e ogni k risulta Fib(n+k)=Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n) DIMOSTRAZIONE: fissiamo k e procediamo per induzione su n. Per n=1 la relazione diventa Fib(k+1)=Fib(k)Fib(2)+ Fib(k-1) Fib(1)= Fib(k)+ Fib(k-1) che vera. Supponiamo quindi vera la formula per ogni 0d"md"n e dimostriamola per n. Per l induzione ammessa saranno vere le seguenti due relazioni Fib(n-1+k)=Fib(k)Fib(n)+ Fib(k-1) Fib(n-1) e Fib(n-2+k)=Fib(k)Fib(n-1)+ Fib(k-1) Fib(n-2) Sommando membro a membro si ottiene Fib(n-1+k)+ Fib(n-2+k)= = Fib(k)[ Fib(n)+ Fib(n-1)]+ Fib(k-1)[ Fib(n-1)+ Fib(n-2)]= = Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n), ma Fib(n-1+k)+Fib(n-2+k)=Fib(n+k), quindi possiamo concludere Fib(n+k)= Fib(k)Fib(n+1)+ Fib(k-1) Fib(n)b &"""Z"")a  / (D9 Propriet.3: Fib(kn) multiplo di Fib(n) . DIMOSTRAZIONE: Procederemo per induzione su k. Per k=1 ovvia. Supponiamola vera per ogni md"k e dimostriamolo per k+1. Utilizzando la Propriet.2 possiamo scrivere Fib[(k+1)n]= Fib(kn+n)= Fib(n)Fib(kn+1)+ Fib(n-1) Fib(kn) Per l induzione ammessa sia Fib(n) che Fib(kn) sono multipli di Fib(n), quindi lo sar anche Fib[(k+1)n]. z &"M"""" "":   ! E: jPropriet.4: Il massimo comune divisore di due numeri di Fibonacci ancora un numero di Fibonacci, precisamente: MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n) DIMOSTRAZIONE: dimostriamo innanzitutto che, se m= nq+r allora MCD(Fib(m),Fib(n))=MCD(Fib(n),Fib(r)). Si ha la seguente serie di uguaglianze: MCD(Fib(m),Fib(n))= =MCD(Fib(nq+r),Fib(n))=(per la Propriet.2) = = MCD(Fib(r)Fib(nq+1)+ Fib(r-1) Fib(nq), Fib(n))= =(per la Propriet.3 Fib(nq) multiplo di Fib(n))= = MCD(Fib(r)Fib(nq+1), Fib(n)) se dimostriamo che MCD(Fib(nq+1), Fib(n))=1 si pu concludere che MCD(Fib(r)Fib(nq+1), Fib(n))= MCD(Fib(r), Fib(n)) che quanto volevamo provare. 2 &"{R 8%$ )F;  Sia MCD(Fib(nq+1), Fib(n))=d allora d divide Fib(n) e quindi anche Fib(qn) e d divide Fib(nq+1). In quanto divisore di due numeri di Fibonacci successivi deve essere d=1, con questo risultato a disposizione il fatto che MCD(Fib(m),Fib(n))=Fib(d) con d=MCD(m,n) immediato. Infatti operando l algoritmo euclideo partendo da m e n e indicando con rt l ultimo resto non nullo (che quindi il MCD(m,n)) si avr MCD(Fib(m),Fib(n))= MCD(Fib(r1),Fib(n))=& & & & = =MCD(Fib(rt-1),Fib(rt))= Fib(rt) l ultima uguaglianza valida dato che rt divide rt-1. Allora per quanto visto Fib(rt) divide Fib(rt-1) "q"*c"*"*"* "*."* "*#"*"*"@ "J ,/  ` ` ̙33` 333MMM` ff3333f` f` f` 3>?" dd@,?" dd@    " @ ` n?" dd@   @@``PP    @ ` ` p@@0 ! (    6Ը P  m9Fare clic per modificare lo stile del titolo dello schema: :  0׸   <Fare clic per modificare gli stili del testo dello schema : =  0۸ ``  X*  0p `   Z*  0D `   Z*H  0޽h ? ̙33 *Struttura predefinita0 X-(  X X 0| P    P*   X 0     R*  d X c $ ?  9 X 0  @  uFare clic per modificare gli stili del testo dello schema Secondo livello Terzo livello Quarto livello Quinto livello: v X 6 `P   P*   X 6t `   R*  H X 0޽h ? ̙33Kb 0s(  r  S `     &L0e0eWG0*f3A  ( @ @?SECTIO AUREAVerdanaCarta     N ??"u  S A ?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpgp@   `| ??" H S!Realizzato da Nazarena Di Grigoli""  TGrf1??"0$@!0!0H  0޽h ? ̙33i A   @ (    6#  ,$D 0 k  La definizione di sezione aurea ci ha condotto alla scoperta che in alcuni poligoni regolari si incontra continuamente questo rapporto, tanto che i pitagorici, apprezzandone la bellezza formale, avevano scelto come loro segno di riconoscimento il pentagono stellato.B #" #"n  T,  ??"`,$D 0 PPartendo dalle costruzioni geometriche relative alla sezione aurea, studiate in Matematica abbiamo scoperto con curiosit che aspetti cos tecnici si ricollegano naturalmente non solo con argomenti di altre discipline di studio, ma possono essere un occasione di crescita di interessi culturali. <('##<  T5  ??"P J,$D 0 v4Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea stata utilizzata come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In realt vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea. &5 4#  T7  ??" ,$D 0 Persino la natura, in situazioni anche molto diverse, sembra utilizzare i numeri della successione di Fibonacci, che si succedono nel rapporto aureo. 0 #"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33    P / (   2  6J p ,$D 0  La sezione aurea e la geometria In questa sezione si presentano la definizione di sezione aurea e alcune costruzioni geometriche significative della relazione tra la sezione aurea e i poligoni regolari. ~ #"'!&!#"#!0!  TPP  ??" >,$D 0 La sezione aurea e l Aritmetica In questa sezione si verifica la relazione tra la successione di Fibonacci e il rapporto aureo. n ` '!&!_##!0K   `xY  ??",$D 0 y/Il lavoro articolato nelle seguenti sezioni: .0.#""  TGf1??"0 @;!0!0  TGrf1??"0$@<!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33  (  ` (    <le   "LA SEZIONE AUREA E LA GEOMETRIA h   %!%!!   <H `0  - Breve storia della sezione aurea - Definizione geometrica - La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide - La misura della sezione aurea - Il rapporto aureo - Costruzione di un segmento del quale si conosce la parte aurea - La parte aurea della parte aurea di un segmento - La costruzione di Erone di Alessandria - Il rettangolo aureo - La spirale aurea - Triangolo aureo con angoli di misura: 72, 72, 36. - Triangolo con angoli di misura: 36, 36, 108. - Il pentagono e triangoli in esso contenuti - Il compasso aureo H  # '!!##'!&!,'!&!'!&!'!&!B'!&!1'!&!('!&!'!&!'!&!7'!&!1'!&!,'!&!'!&! *@/5/*!0#!0&<!0?i!0l!0!0!0!0;!0>Q!0Td!0g!0!0!0(  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !!0"  TGf1??"0$@!0!0  TGrf1??"0$@]!0!0H  0޽h ? ̙33P  x(  ^  6pj,$D 0 6 La Sezione Aurea fu scoperta fin dall'antichit, tanto che la si pu trovare nel libro VI degli Elementi di Euclide. Nel tredicesimo secolo Leonardo Fibonacci, diede la definizione algebrica delle proporzioni auree attraverso la successione di numeri in serie. Tale rapporto prende il nome dal suo autore. r6  #"#"1#"  c $0<$D 0      S d0<$ 0     S D <$ 0  "  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33!  A     I (     S l`<$ 0  <  Af  C:\sezione aurea\La sezione aurea_file\Pacioli.gifLuca Pacioli 0<$D 0   s *zUz,$D 0  S lAL ?C:\sezione aurea\Aureo_file\aueo4.jpg P ,$D 0  0l P,$D 0 eFu intorno al 1885 in Germania che alla "divina proporzione" venne dato il nome di "sezione aurea". ze(2 2*### ##"  0p ,$D 0 : 2 r  0|  ,$D 0 DL aggettivo divina si giustifica perch essa ha diversi caratteri che appartengono alla divinit: unica nel suo genere, trina perch sono necessari 3 segmenti per la costruzione, indefinibile in quanto irrazionale, invariabile. I disegni del volume sono opera di Leonardo da Vinci. ~" ( 2#,#6##4##"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33A   (i(  ( ( S K@<$D 0  K  ( c $K <$ 0 K  ( S  K<$ 0 K O (  ` K ??"!5,$D 0 }+La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide 6+ 0Z+%!" ( TGf1??"0 @!0!0  ( TGrf1??"0$@!0!0.  ( A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H ( 0޽h ? ̙33 A 0( ,(  , , S "K<$ 0 K " , TGf1??"0 @!0!0 , TGrf1??"0$@!0!0. , A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H , 0޽h ? ̙33  03D(  D D S 4K0 `P<$D 0  K  D S 5K <$ 0 K   D 67K` ,$D  0 sSi congiunge poi il punto medio E di AC con il vertice B e sul prolungamento di AC si segna il segmento EF di lunghezza uguale ad EB.!############ qB D s *DԔP P ,$D 0B D s *DԔP ,$D 0B D s *DԔP ,$D  0B D s *DԔ,$D 0B  D s *DԔP  ,$D  0B !D s *DԔP ,$D 0B "D s *DԔP,$D 0B #D s *DԔPPP ,$D 0B $D s *DԔP PP,$D 0 %D 60;K  ,$D 0 HA *#  &D 6\K| P ,$D 0 HB *#  'D 6LaK,$D 0 HC *#  (D 6eK,$D  0 HD *#  )D 6jK  ,$D  0 HE *#  *D 6 <PJ,$D 0 HF *#  +D 6(LPPpJ,$D 0 HG *#  ,D 6pK Pp ,$D 0 >H  # -D 6tK ,$D 0 VK 8 #"  /D THyK ??" ,$D 0 ""Si costruisce quindi il quadrato AFGH, e si prolunga il lato GH fino a intersecare CD nel punto K. Allora, H il punto cercato, cio: AB"BH=AH2.c/ %###### #" ##"#+#" 0D TGf1??"0 @!0!0 1D TGrf1??"0$@!0!0. 2D A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H D 0޽h ? ̙33# A p&K(    0   ,$D 0 X "$(#  6p ` N   q  6ح  ,$D0 HA *#   6 P4 ,$D0 HB *#   6 ,$D0 HC *#   6P ,$D0 HD *#   6,   ,$D  0 HE *#   6 ,$D 0 HF *#   6 ,$D0 HG *#   6p  ,$D0 >H  #  6 ,$D0 VK 8 #"   T??"   T??"   T??"   T  ??"  < 2     T  ??"`,$D 0 F Per dimostrare questa proposizione applichiamo la proposizione II. 6 al segmento CF della figura che ci permette di scrivere f$8Z#$##"M#"!06I  T  ??"p R,$D 0 HMa allora baster sottrarre a queste due figure la parte che hanno in comune, cio il rettangolo CAHK, per ottenere l equivalenza tra il quadrato AFGH e il rettangolo KHBD, ovvero: AH2=AB"BH, che soddisfa alla condizione posta dal problema.L$8Z#+8#B  ZD??" ` x   `  ??"rf H,$D 0  EB2= CF"FA +EA2.j$0Z#+ #+#L  T|  ??"u2 K,$D 0  da cui, poich EF=EB si ottieneJ!$0Z## #b !  `P  ??"}g S,$D 0 EF2=CE"FA+EA2Z$0Z#+ #+ " T8 ??"o},$D 0 MkApplicando la proposizione I. 47 (teorema di Pitagora) al triangolo rettangolo AEB si ottiene EB2=AB2+EA2. l$8Z##1## #+#+#+#8 # T  ??"e ,$D 0 rConfrontando le due ultime relazioni e tenendo conto che FA =FG si deduce che AB2=CF"FG, con cui si esprime l equivalenza tra il rettangolo CFGK e il quadrato ABCD, cio che le loro aree hanno lo stesso valore numerico. $8ZP#+##J##6#"." $  ` Gf1??"0 @!0!0 H   % TGrf1??"0$@!0!0. & A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33*  A   @ TR (  T T S KP0` <$ 0 K B T s *DԔ  ,$D 0B T s *DԔ  ,$D 0B T s *DԔ  ,$D 0B T s *DԔ ,$D 0 T BܐK@ : ,$D 0 5A#  T BlKp j ,$D 0 5B#  T BܗKp ` B j ,$D 0 7X #  T TlK ??" 0,$D  0 uDei due segmenti in cui AB viene diviso dal punto X, AX (cio la parte maggiore) viene detto la sezione aurea di AB. Pu `###" T TGf1??"0 @!0!0 T TGrf1??"0$@ !0!0. T A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P  !0H T 0޽h ? ̙33  "(    Z\  ??" ,$D 0 DPer dimostrarla utilizzeremo la proposizione VI, 29 che riguarda la costruzione di un rettangolo di area data, avente per base la somma di un segmento dato e di un altro segmento che al tempo stesso deve essere altezza del rettangolo. Questa costruzione sempre possibile, sia algebricamente che geometricamente, mediante le proposizioni euclidee del Libro II. Infatti supponendo che il lato dato sia a volendo costruire su esso un rettangolo di area Z che abbia una dimensione pari ad (a +x) e l altra pari ad x avremo   #####L########"S   T2 ??" `J,$D 0 vLa proposizione VI, 30 che affronta nuovamente il problema della costruzione della sezione aurea viene cos enunciata:Nw#"#"`#   `9 ??" ,$D 0  Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data D@ ?'&Y   `@ ??" 9 g ,$D 0  (a +x) x =Z` #####  TG ??" k,$D 0 YIl problema sempre risolubile dal momento che si pu prendere la retta aggiunta x grande quanto si vuole. Dopo aver fatto questa precisione possiamo passare alla dimostrazione della proposizione VI, 30. p k#"[#"#""  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33  KC`)`(  ` ` S KP`P<$D 0  K  ` S xK0 @<$  0 K  ` s *h,$D 0  ` s *h,$D 0B  ` s *DԔ,$D 0B  ` s *DԔ ,$D 0B ` s *DԔ  ,$D 0B ` s *DԔ ,$D 0B ` s *DԔ @,$D  0B ` s *DԔ@ @,$D 0B ` s *DԔ @,$D 0B ` s *DԔ ,$D 0 ` 6K  ,$D 0 HA *#  ` 6lK  ,$D 0 >E  # ` 6K P ,$D 0 HB *#  ` 6pu@,$D  0 HK *#  ` 6}`,$D 0 HD *#  ` 6KP@J,$D 0 >C  # ` 6KF`@,$D 0 HF *#  ` 6KPPJ,$D  0 HH *# Q  ` ZK ??",$D 0 GSe AB il segmento dato, si costruisce innanzitutto il quadrato ABHC."H$0ZH#" "` TGf1??"0 @!0!0 #` TGrf1??"0$@!0!0. $` A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0` &` TK ??"8 vProcediamo con la costruzione geometrica che sar possibile visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina.ww#I %? '` TK ??"&  ,$D  0 y3Quindi prolunghiamo il segmento CA di un tratto AK.*4 (3#W (` TtK ??"@ 0  ,$D 0 AProlunghiamo il segmento DE fino ad intersecare CH nel punto F. 4A (A#> )`  `K ??" 0 E ,$D 0 lCostruiamo il quadrato AKDE. 2 #H ` 0޽h ? ̙33  A p9h4(  h h S K P<$ 0 K R h s *h (h 0(h̙   qA R g&" 'h 0$'h̙   qB R g& "  h <Bhh̙ @0 xK V  $"  h 0Qh̙  qD R g& "  &h 0Q&h̙   qE R g&" %h 0 Q%h̙ YH :  $h 0lQ$h̙p sC T g&" #h 0Q#h̙ (p sF T g&" 2h T??"   3h T??"  4h T??"  5h T`Q ??") ,$D 0 oIn questo modo abbiamo ottenuto il rettangolo CFDK (di base CA+AK e altezza AK) equivalente al quadrato ABHC. Do$0Zl## " 7h TGf1??"0 @!0!0 8h TGrf1??"0$@!0!0. 9h A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H h 0޽h ? ̙33  l?(  lr l S |)QP  Q  l S \*QpP<$ 0 Q  l 0t.Q``,$D 0 YLa misura della sezione aurea (2%!P l 62Q,$D 0 ^Il valore numerico della sezione aurea si calcola facilmente. Infatti riferendoci alla figura <^ ]#"R  l s *5B  l s *DԔ`,$D 0  l 6x9Q@,$D 0 HA *#   l 6>QP%,$D 0 HC *# B l s *DԔP ,$D 0 l 6BQ !,$D 0 HB *# B l 6DԔp`,$D 0B l 6DԔp ,$D  0B l 6DԔ `,$D  0 l 6HQ0 ,$D  0 Hx *#  l 60MQ `,$D  0 @1-x  # l 6LQQ ,$D  0 H1 *# " l TGf1??"0 @!0!0 l TGrf1??"0$@!0!0. l A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H l 0޽h ? ̙33*  A    pR (  p p S \Q <$ 0 Q 4 p Al ?C:\sezione aurea\La SeziAurea_file\segmento_aureo.gifA <$D0 QN p 0_Q ,$D 0 ZAnalogamente si verifica agevolmente che, se il segmento AC ha lunghezza a, allora la sua sezione aurea misura (-1+"5 )a 2 Il reciproco di x (1/x) ha un valore pari a 1,618 e questo numero prende il nome di rapporto aureo. - 8Z 29####H#####)##",##3#"!0)"  p TGf1??"0 @!0!0  p TGrf1??"0$@!0!0.  p A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H p 0޽h ? ̙33"     tJ (  t t S  tQ0<$D 0  Q  t S uQ@ <$  0 Q V t 0hwQ ,$D 0 hCon riferimento alla fig. 1, si definisce rapporto aureo il rapporto AB/AX, con AX sezione aurea di AB. >h(2 2g#"B t s *DԔ  ,$D 0B t s *DԔ P,$D 0B  t s *DԔP,$D 0B  t s *DԔP,$D 0  t 6QFP@@,$D 0 >A  #  t 6QPJ =  # t B(QF.@,$D 0 5B# t 6LQP J,$D  0 >X  #" t TGf1??"0 @!0!0 t TGrf1??"0$@!0!0. t A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H t 0޽h ? ̙33v  A    x(  x x S Qp`<$ 0 Q B x s *DԔ,$D 0 x BQ0,$D 0 5A#B  x s *DԔ`,$D 0B  x s *DԔ` ,$D 0B  x s *DԔ`,$D 0 x 6̳Q@ ,$D 0 >X  # x BԷQp,$D 0 5B#" x TGf1??"0 @!0!0 x TGrf1??"0$@ !0!0. x A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !!0H x 0޽h ? ̙33>  |f(  | | S |S`<$D 0  S  | S \SP0<$ 0 S " | TGf1??"0 @!0!0 | TGrf1??"0$@)!0!0. | A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P *!0H | 0޽h ? ̙33P     x (    S =S`<$D 0  S   S >S <$  0 S (  0`@S06,$D 0 @ Costruzione di un segmento del quale si conosce la parte aurea 8A(2#>%!B   `DԔ??"  ,$D 0B   `DԔ??" ,$D 0B   `DԔ??"  ,$D  0B   `DԔ??"  ,$D 0  BPGSFa@,$D 0 5A#  BJSF b@,$D  0 5B#  6PNSPJ,$D 0 HC *#   6RSP @ J,$D 0 HH *# "  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@,!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P -!0H  0޽h ? ̙33  /(    S _SP` <$D 0  S   S _S P<$  0 S B   `DԔ??"``,$D 0B   `DԔ??" ,$D 0  BxbS,$D 0 5A#  BfS,$D 0 5B#  6xiS0 P ,$D 0 HH *# E  ZmS ??"Pg,$D  0 y?Se AH la parte aurea del segmento AB, sussiste la proporzione@@'  T@rS ??"p W,$D  0 JAB:AH =AH:HB . (2'B   `DԔ??"00,$D  0  B[S@:,$D  0 5A#  6S@  :,$D 0 HK *#   6S@0 P :,$D 0 HH *#   BS@:,$D 0 5B#B   `DԔ??"0 ,$D 0B   `DԔ??"0 ,$D 0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@/!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P 0!0H  0޽h ? ̙33  A B :  (    S lSP<$D 0  S   N ??"$>  S Az ?JC:\sezione aurea\DEFINIZIONE SEZIONE AUREA_file\fiboline.gifSuccessive Golden Sections of a Line@j,$D0  ZS ??" P  ,$D 0 |Combinando i segmenti si ottiene una sorta di  regolo aureo : "?=#  N ??"ITI  S Ar ?2C:\sezione aurea\La Serie di Fibonacci_file\gldnrulr.gifgldnrulr.gif (1748 byte)K  ,$D0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@2!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P 3!0H  0޽h ? ̙33>  f(    S Q`<$D 0  Q   S Q <$ 0 Q "  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@5!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P 6!0H  0޽h ? ̙33  w%(    S Q0 <$ 0 Q B   `DԔ??" ` ,$D 02   `Ԕ??"@0  ,$D  0B   `DԔ??"`` ,$D 0B   `DԔ??" ,$D  02  Z Ԕ??"P ,$D 0  ZQ ??"6 `0 ,$D 0 HA *#   ZhQ ??"6 P0 ,$D 0 HB *#    ZLQ ??"`,$D 0 >C  #  Z Q ??"f` ,$D  0 HR *#   ZQ ??" ,$D 0 HQ *#   Z0Q ??"6 `0 ,$D 0 HD *# /   `L ??"@',$D 0 ]se AB il segmento dato:( #5  T\< ??"\ ,$D 0 o+- si traccia la perpendicolare in B ad AB(, +#:  T S ??" P@,$D 0 t@- si prende su di essa un punto C tale che CB sia la met di ABAA#{  T$S ??"U ,$D  0 U- si traccia la circonferenza di centro C e raggio CB che tangente ad AB in B DU 8ZT##s  TS ??"P  ,$D  0 g- si traccia la semiretta AC e si indicano con R e Q i suoi punti di intersezione con la circonferenza *h (g#a ! T4S ??"  ,$D 0 S- si traccia un arco di circonferenza di centro A e raggio AR che incontra AB in D.,T(-S#" " TGf1??"0 @!0!0 # TGrf1??"0$@8!0!0. $ A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P 9!0` % TS ??"8 vProcediamo con la costruzione geometrica che sar possibile visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina.ww#I %H  0޽h ? ̙33  A    0 (    S Sp<$D 0  S   S Spp <$ 0 S   N ??".  s Ah ?C:\sezione aurea\Nuova pagina 1_file\costsez119.jpg0 P L$D0!0~  TȲS ??"P,$D 0 vLa tesi si ottiene subito osservando che per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo ABC, si ricava:&w(2v#  T0S ??" `,$D 0 Quindi AD"AD = AB(AB-AD) e da questa infine AD/(AB-AD) = AB/AD Tenendo conto che AB-AD= DB si ha che AB:AD =AD:DB  2#."#"#"#"%#>" #(-"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@;!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P <!0H  0޽h ? ̙33~     0  (    S ,S0P<$D 0  S   S  SP <$ 0 S   TdS ??"P ,$D 0 ]Una dimostrazione diversa della validit della costruzione di Erone, ma altrettanto semplice come la precedente, pu essere data mediante la teoria delle proporzioni. Essendo A un punto esterno alla circonferenza per il teorema della secante e della tangente condotte da un punto esterno ad una circonferenza si pu scrivere la seguente proporzione:F^(2#'3ff#=  N ??".  s Ah ?C:\sezione aurea\Nuova pagina 1_file\costsez119.jpg@@H L$D0!0  TQ ??"` k,$D 0 Invertendo e sostituendo AR =AD otteniamo AB:AD = AD:DB. Quindi AD medio proporzionale fra AB e DB. Dunque AD la parte aurea del segmento AB. N(2)#"h#"#"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@>!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P ?!0H  0޽h ? ̙33 A `X@#(    S SPP<$D 0  S   S S ` <$ 0 S   TS ??"8 ,$D 0 Il rettangolo ABED un rettangolo aureo nel quale AB diviso dal punto C esattamente nella sezione aurea AB:AC = AC:CB AC = AD(k 2-(2#k, B   `DԔ??"@ i@ ,$D 0B   `DԔ??" @ ,$D 0B   `DԔ??" p ,$D  0B   `DԔ??" pp@ ,$D  0B   `DԔ??" p ,$D 02  Z Ԕ??" p@ ,$D 0B   `DԔ??"@ p@ ,$D 0B   `DԔ??" @ ,$D 0B   `DԔ??" p ,$D 0  Z$S ??"6 00 ,$D 0 HA *#    `\S ??"0P,$D 0 MIl rettangolo aureo%!  ZQ ??"  ,$D 0 HB *#    ZQ ??"6 00 ,$D 0 >C  #  66 p0 ,$D 0 HM *#   Zl ??"00P*,$D  0 HD *#   Z` ??"00*,$D  0 HG *#   ZU ??"0 *,$D 0 HE *# B   fD1??" p@ ,$D 0  TU ??"<,$D 0 rPer visualizzare la costruzione del rettangolo aureo dato un segmento AC clicca in un punto qualsiasi della pagina*s (r#I#  T4U ??"  0,$D 0 X- si disegni il quadrato ADGC #K  T U ??"  ,$D  0 ?- si divide il segmento AC in due chiamando il punto medio M *@ (?#  TU ??" p ,$D 0 s- si traccia un arco di circonferenza di centro M e raggio MG che intersechi il prolungamento del segmento AC in B Bs (B#1#" ! TGf1??"0 @!0!0 " TGrf1??"0$@A!0!0. # A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P B!0H  0޽h ?  ̙33t A  P&(    S  U` 0<$D 0  U   c $U <$ 0 U   N ??".    P$.     .2    LB  c $D    0, U̙ LA .   0x$U̙@0 LM .    0(U̙ LB .    0-U̙ LC .    00U̙`4 LD .    04U̙`4 LG .    09U̙`4 LE .    T=U ??" `,$D 0 tSupponiamo che AC abbia lunghezza unitaria, avremo che MC=1/2 ed MG per il teorema di Pitagora sar uguale a :ss#"  " ZGU ??"K ,$D 0 >MG="(MC2+CG2)="[(1/2)2+(1)2]="(1/4+1)="5/4=5/2 Osservando che MG = MG possiamo scrivere CB = MB-MC = (5/2)-1/2 = (5-1)/2 ["###+#+##+#+#"*#" #[  " $ TGf1??"0 @!0!0 % TGrf1??"0$@D!0!0. & A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P E!0H  0޽h ? ̙33  `,(    S pYU00<$D 0  U   S PZUP<$  0 U   TԔ??" ` `,$D0B   `DԔ??"P P `,$D 0B   `DԔ??"PP ` P,$D  0B   `DԔ??"  P,$D  0B   `DԔ??"P  ,$D  0  Z$*U ??"0P,$D 0 NA 0#   ZbU ??"` ,$D 0 JB ,#   ZPgU ??"` ,$D 0 JC ,#   Z,lU ??"` ,$D 0 JE ,#   ZpU ??"0P,$D 0 JD ,#   ZuU ??"` ,$D  0 JF ,# "  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@G!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P H!0H  0޽h ? ̙33` A p (    S `U<$D 0  U   S @U<$ 0 U   A xNNC:\sezione aurea\Sezione Aurea - Geometria_file\image34.gif#"  ,$D0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@J!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P K!0H  0޽h ? ̙33   @ 8  (    S \U <$D 0  U <  A d,ttttC:\sezione aurea\La spirale aurea_file\spi_a1.gifspi_a1.gif (405 byte)#"  5@,$D 0<  A d,ttttC:\sezione aurea\La spirale aurea_file\spi_a3.gifspi_a3.gif (393 byte)#"  @,$D 0<  A d,ttttC:\sezione aurea\La spirale aurea_file\spi_a4.gifspi_a4.gif (506 byte)#"  @@,$D 0<  Ad,llllC:\sezione aurea\La spirale aurea_file\spi_a2.gifspi_a2.gif (392 byte)#"  ` @,$D 0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@M!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P N!0H  0޽h ? ̙33  A P H   (    S Up`P@<$D 0  U   S `U <$ 0 U   AxNNC:\sezione aurea\Sezione Aurea - Geometria_file\image31.gif#" " ,$D0P  T\X ??" `,$D 0 hIl triangolo ABC simile al triangolo BCD infatti anch esso un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72ociascuno e l angolo al vertice misura 36o. Essendo simili avranno i lati in proporzione, quindi AC:BC = BD:DC essendo BC = BD = AD avremo AC:AD = AD:DC quindi AD la sezione aurea di AC. %w#+(#+#"B#"#" #"$#  P"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@P!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P Q!0H  0޽h ? ̙33   (    S U0 `<$D 0  U   S дUp <$ 0 U   AxNNC:\sezione aurea\Sezione Aurea - Geometria_file\image32.gif#"  S,$D0  AxNNC:\sezione aurea\Sezione Aurea - Geometria_file\image31.gif#" 0 p,$D0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@S!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P T!0H  0޽h ? ̙33  A | t   (    S U0p<$D 0  U   c tU0e0e p` <$ 0 U   TU ??" ,$D 0 ,A questa figura stata attribuita per millenni un importanza misteriosa probabilmente per la sua propriet di generare la sezione aurea da cui nata. Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea : AB : AC = AC : CB  (E 0Z7#"B##"5#"  N ??"M   S Af ?*C:\sezione aurea\La sezione aurea_file\sezion4.jpgwpeA.jpg (8976 byte)UP ,$D0"  TGf1??"0 @!0!0  TGrf1??"0$@V!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P W!0H  0޽h ? ̙33-  9U(    S U<$D 0  U   S U@0 <$ 0 U 2  ZԔ??",$D 0B   `DԔ??"`,$D 02  ZԔ??" @`,$D  0B   `DԔ??"`,$D 0B   `DԔ??"@ p,$D 0B @  `DԔ??"`,$D  0B   `DԔ??",$D  0B  ZD??"@`,$D 0B  ZD??",$D 0B  ZD??"@,$D 0B  ZD??",$D 0B ! ZD??"@ p`,$D  0B % ZD??"@ ,$D 0B +  `DԔ??"@ `,$D 0B 2 ZD??" p@ ,$D 0B 3 ZD??" @ ,$D 00 5 TxU ??"0  ,$D  0 j4Ogni lato forma, con il punto d incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36, 36, 108, con le propriet descritte in precedenza.# 6 T8U ??" 0  ,$D 0 Cio il lato del pentagono regolare la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.* (# 7 TGrf1??"0$@Y!0!0. 8 A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P Z!0" 9 TGf1??"0 @\!0!0H  0޽h ? ̙33 A B: (    S U  <$ 0 U    S Af ?*C:\sezione aurea\La sezione aurea_file\sezion4.jpgwpeA.jpg (8976 byte)PB ,$D0"  TGf1??"0 @^!0!0  TGrf1??"0$@_!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P `!0H  0޽h ? ̙33  rj (    S 9 <$D 0  9   S p90 <$ 0 9   N ??"B  B  S A ?C:\sezione aurea\compasso di goeringer_file\compasso_file\compas1.gif`i ,$D0"  TGf1??"0 @b!0!0  TGrf1??"0$@c!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P d!0H  0޽h ? ̙334   \(    S \ 9P<$ 0 9   N ??"B  B  S A ?C:\sezione aurea\compasso di goeringer_file\compasso_file\compas1.gif  ,$D0"  TGf1??"0 @f!0!0  TGrf1??"0$@g!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P h!0H  0޽h ? ̙33 A ~v(  r  S /9`0  9 r  S $90 9 "  TGf1??"0 @j!0!0  TGrf1??"0$@k!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P l!0H  0޽h ? ̙33>  f(    S 29`<$D 0  9   S 29p<$ 0 9 "  TGf1??"0 @n!0!0  TGrf1??"0$@o!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P p!0H  0޽h ? ̙33H   p (  N   Zb ??"/P`@,$D 0 In tutta la sua produzione l opera pi importante il "Liber abaci", comparso attorno al 1228: un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. La reputazione di Leonardo come matematico divenne cos grande che l imperatore Federico II gli chiese un udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli confer il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi cheapport alla matematica. Fibonacci mor qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. 6  (PZ#t8 x   ' V"  TGf1??"0 @r!0!0  TGrf1??"0$@s!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P t!0H  0޽h ? ̙33> A   f(      S H9@<$D 0  9    S I9``<$ 0 9 "   TGf1??"0 @v!0!0   TGrf1??"0$@w!0!0.   A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P x!0H   0޽h ? ̙33   5 - 0 (    S \\90 <$ 0 9   N ??"  S A  ?4C:\Documenti\Nuova cartella\La Serie di Fibonacci_file\conigli_2.gifconigli_2.gif (7477 byte)    08^90   e#Numero di coppie 1 1 2 3 5&  $  T@d9 ??" ,$D 0 Alla fine del quarto mese la femmina iniziale ha generato una nuova coppia mentre la femmina nata due mesi prima genera la sua prima coppia. Abbiamo cos 5 coppie. Alla fine del quinto mese avremo quindi 3 femmine che generano una nuova coppia portando il totale a 8 coppie e proseguendo il ragionamento le coppie diventano 13, 21, 34, 55 etc.etc. Alla fine del dodicesimo mese si arriva a 233 coppie.$#"   TGf1??"0 @z!0!0   TGrf1??"0$@{!0!0.   A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P |!0H  0޽h ? ̙33  ` X  (    Zy ??"# ,$D 0 GTutto questo potrebbe sembrare una pura curiosit matematica legata alla particolarit di questo problema ed a fattori puramente casuali. Di notevole interesse risulta tuttavia la ricorrente presenza di questi numeri in molteplici situazioni naturali (animali e piante) tali da indurre numerosi artisti a riconoscere in questi sequenza numerica una sorta di ordine naturale che ben si accorda con l'armonia indotta dal rapporto di sezione aurea. Nella seconda met del diciannovesimo secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza utilizzando come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza di Lucas. Quest'ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. La serie di Fibonacci una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui l'elemento successivo calcolato come somma degli ultimi due. Una definizione pi formale :N #"#",   T0| ??" ,$D 0 :il valore della funzione Fib definito in termini della funzione stessa.Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da equazioni dette ricorrenti o alle differenze. 0 #,O F   ` ??" ,$D 0 7Fib(0) = 1 Fib(1) = 1 Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) se n>1$8 7#Z "  TGf1??"0 @~!0!0  TGrf1??"0$@!0!0.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H  0޽h ? ̙33  A '  @  (    S k9`@<$D 0  9   S  A P f(      S ؅9p<$D 0  9    S 9<$ 0 9 "   TGf1??"0 @!0!0   TGrf1??"0$@!0!0.   A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H   0޽h ? ̙33  0(`$(  $ $ S 9P0<$ 0 9 " $ TGf1??"0 @!0!0 $ TGrf1??"0$@!0!0. $ A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H $ 0޽h ? ̙33>  p(f(  ( ( S 9`0<$D 0  9  ( S \9<$ 0 9 " ( TGf1??"0 @!0!0 ( TGrf1??"0$@!0!0. ( A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H ( 0޽h ? ̙33  jb,(  , , c :0e0e `` : " , TGf1??"0 @!0!0 , TGrf1??"0$@!0!0. , A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H , 0޽h ? ̙33 A tl D(  D D S :0<$D 0  :  D S :@ `0<$ 0 :  D N ??".  D S Af ?*C:\sezione aurea\La sezione aurea_file\sezion2.jpgwpe3.jpg (4061 byte)0  ,$D0" D TGf1??"0 @!0!0 D TGrf1??"0$@!0!0.  D A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H D 0޽h ? ̙339  99RTH8(  H H S ,9`<$ 0 9 0z $ u  NH 0 ,$D0/@ ! r  LH! r @  H! H  `И9 ??" { 2 / 1 V  # ## " H Z ??"@  H H  `9 ??" h 2 H ## " H Z ??"@   !H  H  `` ??"  o 34 / 21 H   ## "  H Z ??" @  !  #H !  H  `| ??"   a 1,61905.. :   #" "H Z ??" ! @ & %H& H  ` ??"& y 3 / 2 T  # ## "  $H Z ??"&@ & 'H&  H  ` : ??"& j 1,5 H ## " &H Z ??"&@  & )H &  H  `#: ??" & n 55 / 34 H  ## " (H Z ??" &@  ! & +H ! &  H  `8 ??"  & o 1,61765.. H  # #" *H Z ??" ! &@ & -H&  H  `0: ??"& S 5 / 3 0##  ,H Z ??"&@ & /H&  H  `5: ??"& N1,66666& " # .H Z ??"&@ &  1H&  H  `:: ??"&  R89 / 55 . ##  0H Z ??"& @  &!  3H &!  H  `l?: ??" &  _ 1,61818.. 8   #"  2H Z ??" &! @ L 5HL H  `E: ??"L S 8 / 5 0##  4H Z ??"L@ L 7HL H  `J: ??"L P1,6 0##  6H Z ??"L@  L 9H L H  `O: ??" L U 144 / 89 0 ##  8H Z ??" L@  ! L ;H ! L H  ` U: ??"  L G 1,61798.." # :H Z ??" ! L@ L =HL H  `4Z: ??"L R 13 / 8 . ##  H Z ??"L@ L  AHL  H  `Lc: ??"L  T 233 / 144 . ##  @H Z ??"L @  L!  CH L!  H  `8h: ??" L  G 1,61806.." # BH Z ??" L! @ r  EHr  H  `m: ??"r  a 21 / 13 < # ##  DH Z ??"r @ r  GHr  H  `s: ??"r  U 1,61538... . ##  FH Z ??"r @  r  IH r  H  `x: ??" r  V 377 / 233 0 ##  HH Z ??" r @  ! r  KH ! r  H  ` k: ??"  r  T 1,61803.. . ##  JH Z ??" ! r  MH T ??"$ u p OH T؂: ??"0 P ,$D 0 la prima colonna decresce e la seconda cresce ma entrambe tendono a 1,618033988 che il valore del rapporto aureo ). Ci pu essere espresso in modo pi rigoroso con una formula lim = ) (con n che tende ad infinito)s##">#"##" PH S A ??^8 $D0" RH TGf1??"0 @!0!0 SH TGrf1??"0$@!0!0. TH A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H H 0޽h ? ̙33  A    L (  L L S :P<$D 0  :  L S x: <$ 0 :  L N ??"* f L S A ?C:\Documenti\Nuova cartella\Performance Trading_it Analisi Tecnica Fibonacci La serie di Fibonacci_file\fib02.gif0  ,$D0 L N ??"  f L S A ?C:\Documenti\Nuova cartella\Performance Trading_it Analisi Tecnica Fibonacci La serie di Fibonacci_file\fib03.gif  ,$D0  L  `: ??"0  ,$D 0 Zove ) il valore del Rapporto Aureo, pari a v. 0Z###&##"  L TGf1??"0 @!0!0  L TGrf1??"0$@!0!0.  L A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H L 0޽h ? ̙33   "T8(  Tr T S l   T N ??"k \ T S A ??   T N ??" 3!\ T S A ??    T N ??"k \  T S A ??   T N ??"M\  T S A ??P   T N ??"_\  T S A ??`  T N ??"%\ T S A ??> @   T N ??" \ T S A ??X `   T N ??" 3!\ T S A ?? W`  T N ??" O \ T S A  ??   T N ??" m \ T S A! ??   T N ??"@ !@\ T S A" ??  \ T S A ??   T N ??" 3!\ T S A ??   "  T TGf1??"0 @!0!0 !T TGrf1??"0$@!0!0. "T A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0H T 0޽h ? ̙33S A   P{ (  P P S h:` <$ 0 : B P s *DԔP ` P ,$D 0B P s *DԔP 0 0 ,$D 0B P s *DԔP ` P ,$D 0B  P s *DԔP ` ` ,$D 0  P B:` pQZ ,$D 0 5A#  P 6:` Z ,$D 0 >B  #  P 6:`  Z ,$D 0 HM *#   P 68` @0@ ,$D  0 VN 8 #"  P 6: @ ,$D  0 `allora sar valida la relazione: MN2=AN"BN+MB2. 1!#'/ '/': P 6,: `,$D  0 Se la lunghezza di AB si indica con a e quella di BN con x, la relazione precedente si traduce nella formula di immediata verifica: (a/2 +x)2 = (a +x) x+ (a/2)2   ##p#"#+# #+"v . P A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P  !0R P NGf??"0 @!0!0 P TGrf1??"0$@!0!0H P 0޽h ? ̙33` (  f   ZH ??"x,$D 0 A questo punto verr fatta una piccola digressione riguardo il numero "5 e la sua irrazionalit. Tutto ci servir da premessa al prossimo paragrafo, per meglio comprendere l irrazionalit di ) . Lemma.1: Il quadrato di un numero m divisibile per 5 se e solo se m divisibile per 5 . DIMOSTRAZIONE: ricordiamo che un numero m divisibile per 5 se esiste un k intero tale che m= 5k. Condizione necessaria Se m= 5k allora m2=25k2 e m2=5(5k2) ponendo k =5k2 abbiamo trovato m2=5k allora il quadrato di m divisibile per 5. Condizione sufficiente Sia m2=5k, dobbiamo dimostrare che anche m sia multiplo di5; supponiamo per assurdo che non lo sia, quindi m= 5h+r con 1d" r d"4 sviluppando il quadrato otteniamo m2=25h2+2(5hr)+r2=5(5h2+2hr)+ r2 che non divisibile per 5, ma m2=5k e quindi abbiamo ottenuto due diverse scomposizioni in fattori. Ci viola il teorema fondamentale dell aritmetica. Quindi possiamo concludere che m multiplo di 5. ) " "  ###"#"'T#"b#####+#+#+#+## ###+#+##+#####+d##(##!###+#+ #+#+#+ ###+###.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P $!0R  NGf??"0 @!0!0  ZGrf1??"0$@!0!0H  0޽h ? ̙33A NF (     Z,  ??"+,$D 0 rLemma.2:  "5 un numero irrazionale . DIMOSTRAZIONE "5 un numero reale, infatti esiste un teorema che afferma:  ogni numero reale positivo y ammette per ogni n naturale una e una sola radice n-ma positiva . Per dimostrare che "5 un numero irrazionale basta far vedere che non appartiene all insieme dei razionali. Procediamo per assurdo e supponiamo che "5 un numero razionale quindi esistono m ed n naturali non entrambi multipli di 5 tali che mn-1="5 e quindi tali che m2=5n2 per il Lemma.1 possiamo affermare che m multiplo di 5, cio m =5p con p numero naturale. Se in tale uguaglianza si sostituisce 5p a m si ottiene 25p2= 5n2 e quindi 5p2= n2 ci significa che n multiplo di 5 in contrasto con la scelta di m ed n, quindi possiamo affermare che "5 non appartiene all insieme dei razionali. Di conseguenza possiamo affermare che anche "5/2 non sar un numero irrazionale.@' '#" #"<#"_#"m#"#"#+#"#+#+"[#"7#"&#+#+"##+#+"#"P#.  A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P '!0R  NGf??"0 @!0!0  ZGrf1??"0$@!0!0H  0޽h ? ̙33  ~vh(  hr h S p:`0  : r h S ,:`  : . h A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R h NGf??"0 @!0!0 h ZGrf1??"0$@!0!0H h 0޽h ? ̙33 A *"0(  0 0 S 0:@<$ 0 :  0 TGrf1??"0$@!0!0. 0 A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R 0 NGf??"0 @!0!0H 0 0޽h ? ̙33  *"4(  4 4 S :`P<$ 0 :  4 TGrf1??"0$@!0!0. 4 A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R 4 NGf??"0 @!0!0H 4 0޽h ? ̙33  *"8(  8 8 S p:<$ 0 :  8 TGrf1??"0$@!0!0. 8 A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R 8 NGf??"0 @ !0!0H 8 0޽h ? ̙33  *"<(  < < S 9 <$ 0 9  < TGrf1??"0$@!0!0. < A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R < NGf??"0 @ !0!0H < 0޽h ? ̙33  *" @(  @ @ S 9 <$ 0 9  @ TGrf1??"0$@!0!0. @ A f1?C:\sezione aurea\La Sezione aurea nella pittura_file\vitruvian.jpg"7P !0R @ NGf??"0 @!0!0H @ 0޽h ? ̙33 0 P\<(  \X \ C X   K \ S KX @  K ># H \ 0޽h ? ̙33 xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!mH|Ì 6#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>Gle-1Mf7L Nb`jy Lm L@&. A \ J%&~P^Q01v+*S e-,< xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!mH|Ì 6#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>Gle-1Mf7L Nb`jy Lm L@&. A \ J%&~P^Q01v+*S e-,< xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!mH|Ì 6#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>'lexFb2##3#3ЛL Lm ̼`) 2(}+C!C)C">yz+#TVrz"NP|yPl@C~y4] xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!mH|Ì 6#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>Gle-1Mf7L Nb`jy Lm L@&. A \ J%&~P^Q01v+*S e-,<xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4Yv(bW< ]P^b <*1@ݐ6pLp$+SrRIp101"X}" 0e(#!d@> f 4Kȱd/ +A Yr@Ĝ 0ȏiTI{y_Hf&秕(&d)0\b @>grS!.`f`2 vuІvQ_L &/i-T dDVԦ̀ 44M5df3p1 )!,aӢ xPPʐ,3Oʈ* sP|b$h@C~*_j[: J;xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4Yv(bW< ]P^b <*1@ݐ. 0#3 +SrRIp101"X}" 0e(#!d@w> f 4Kȱd/ +A Yr@Ĝ 0f`bQ0|0-2q" i= Ē<c=pRr grS!.`f`2 v kL&3#: ڴyS` ikudAڀʘڎ*13ÍRj:PӁHu+C!C)C">yz+#TVrz"&A%DR4Om0Ǟ@IuZ402PiOP]0_a5 ſ#śBxp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4Yv(bW< ]P^b <*1@ݐ*0#3H V30d'2b`bDD`;PtGC  ?k?H} i@c?^V,߳B؁9@a "ɩ) 8L./O+Qp-,M,S03`J|GϘBb]Be@ - OވCLfddbdzDXL Lm ̼`) 0F ML4Xh; nP F< m@e`2(bf1p222$KL`2Je`!'b_ *#j?PiZ42P+R#}aA5 xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4Yv(bW< ]P^b <*1@ݐ:>aFf V30d'2b`bDD`;PtGC  ?k?H} i@c?^V,߳B؁*> /E&S0S3$}q ᛙ\_VZXX`gr 1p01Mĺ01*A6Dr~CLfddbdzDXL Lm ̼`) 2@i&vTAH ، e1 54@䣁 JWBRD`ɟ ,}WFT =DLˎ2S eIJr (Im |E=T#} xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!}Po҇Ì@v#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>h /'Πr_b2##3#3ЛL LmBJ̼`) k3PPʐ,3Oʈ*_9j?Pp5\ xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!U%d8aFf<#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnPr`d`Zd 9!#00sAzEi% %y z <@)`73|TH X(p 3 ,(ʐJb2##3#30SS!S63/HÔ[X 1b0M`` 4$(ԜVna@( ?X?(RYz;AMQS e7 xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!M:aFf<#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnPr`d`Zd 9!#00sAzEi% %y z <@)`73|TH X(p 3`:@A(dFFf..Ff`12 6!%C6mf^@) b.a4Mh?HQ9,6IÀS222$KL`2Je`!'bW3eFOm0Q6=rh xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!=`&_2aFf ہV30d'2b`bDD`;PtGC y'bOzC? rB x#"ɩ) 8L./O+Qp-,M,S03`J|GϘBb]Be@ycb O &322sq12]R \ J%&~P^Q01vK2gR6rS4$ xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!usÌ@v#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>Gle-1Mf7L Nb`jy Lm L@&. A \ J%&~P^Q01v+*S e7< xp^RЀ3ÿ lHbP  LPÄ!1 4axĐ% y@( XyT0cH!usÌ@v#LgaH%NdĈb0w?$, ORe3C~%AnP(8HNuL-\ŁofrQ~q~ZkaibIf~P%. 8z _,7f /j>'lexFb2##3#3ЛL Lm ̼`) 2(}+C!C)C">yz+#TVrz"NP|yPl@C~54Nrd`tWl?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~Root EntrydO)Pictures#Current UserSummaryInformation(dRPowerPoint Document(WtDocumentSummaryInformation8YRoot EntrydO)SDRPictures#Current UserPSummaryInformation(dR(_sFilippo SpagnoloFilippo Spagnolo