QCM sur les anneaux

Certain anneaux intègres ne sont pas des corps.
Tout anneau intègre est un corps.
Certain corps ne sont pas des anneaux intègres.
Tout corps est un anneau intègre.
Tout anneau intègre infini est un corps.

un anneau commutatif possédant des diviseurs de zéro.
un anneau intègre.
un corps.
un anneau non commutatif.
aucune des assertions précédentes n'est vraie.

un anneau commutatif
un anneau intègre.
un corps.
n'est pas un anneau.
aucune des assertions précédentes n'est vraie.

Dans tout anneau commutatif :

certains éléments non nuls possédant un inverse.
tout élément non nul est simplifiable.
tout élément non nul est inversible.
certains éléments non nuls ne possédant pas d'inverses.
tout élément non nul n'est pas inversible.

On considère l'application i : Z ¾® Z définie par i(n) = 2n. Lesquelles des assertions suivantes sont vraies ?

i est surjective.
i est injective.
i est un morphisme de l'anneau Z .
ker(i) ¹ {0}
i(Z) est un sous-anneau de Z .

f(A) est un sous-anneau de A.
f(A) est un sous-anneau de B.
f(A) est isomorphe à A.
f(A) est isomorphe à B.
aucune des assertions précédentes n'est vraie.

Soit f un morphisme de l'anneau A dans l'anneau B. Laquelle des assertions suivantes est vraie ?

f ^-1(A) est un sous-anneau de A.
f ^-1(A) est un sous-anneau de B.
f ^-1(A) est un morphisme de l'anneau B dans l'anneau A.
f ^-1(A) est isomorphe à A.
f ^-1(A) est isomorphe à B.

ker f est un sous-anneau de A.
ker f est un sous-anneau de B.
ker f = {0}.
ker f = F
ker f ¹ F

Soit un anneau commutatif. Laquelle des assertions suivantes est vraie?

tout idéal de A est un sous-anneau de A.
tout sous-anneau de A est un idéal de A.
il existe un idéal propre de A qui est un sous-anneau
aucun idéal propre de A n'est un sous-anneau de A.

Soit f un morphisme non nul de A dans l'anneau B. Laquelle des assertions suivantes est vraie ?

ker f est un sous-anneau de A.
ker f est un idéal de A.
A/ker f est isomorphe à B.
A/ker f est isomorphe à A.
aucune des assertions précédentes n'est vraie

2Z est un idéal de Z/12Z.
12Z est un idéal de Z/12Z.
2Z/12Z est un idéal de Z/12Z.
Z/6Z est un idéal de Z/12Z.
3Z/4Z est un idéal de Z/12Z.

g et f tous deux injectifs Þ g o f  injectif.
g et f tous deux surjectifs Þ g o f  surjectif.
g surjectif et f injectif Þ g o f  injectif.
g surjectif et f injectif Þ g o f  surjectif.
g injectif et f surjectif Þ g o f  surjectif.
g injectif et f surjectif Þ g o f  injectif.
g o f  injectif Þ g  injectif.
g o f  surjectif Þ g injectif.
g o f  injectif Þ f injectif.
g o f  surjectif Þ f surjectif. 

I est maximal  Þ I est premier.
I est premier  Þ I est maximal.
I est maximal  Þ A/I est intègre.
I est maximal  Þ A/I est un corps.
I est un corps  Þ A/I est intègre.
I est intègre  Þ I est premier.

tout anneau euclidien est principal.
tout anneau principal est euclidien.
tout élément premier est irréductible.
tout élément irréductible est premier.
tout élément premier dans un anneau euclidien est irréductible.
tout élément irréductible dans un anneau euclidien est premier.

A[X] est un anneau intègre.
A[X] est un anneau principal.
A[X] est un anneau euclidien.
X² + 1 est irréductible dans  A[X].
X² - 2 est irréductible dans  A[X].