Review Editor:
Filippo SPAGNOLO

Editing board: Benedetto Di Paola.

Editorial board:
Mahdi ABDELJAOUAD, Michele ARTIGUE, Ferdinando ARZARELLO, Maria BARTOLINI BUSSI, Aldo BRIGAGLIA, Guy BROUSSEAU, Maria POLO, Bruno D'AMORE, Fayez MINA, Raffaella FRANCI, Fulvia FURINGHETTI, Joseph GASCON, Athanasios GAGATSIS, Claire MARGOLINAS, Teresa MARINO, Carlo MORINI, Pietro NASTASI, Règis GRAS, Luis RADFORD, Alan ROGERSON, Aldo SCIMONE, Ivan TRENCANSKY.

Forme del pensiero nella Didattica della matematica: riflessioni e ricadute didattiche

Nucleo di Ricerca in Didattica Università di Udine (pagg 1-99) (Italian Version)

 

Evoluzione, Tempo, Endofisica

Rosolino Buccheri  (pagg. 100-112) (Italian Version)

 

Formalism and intuition in mathematics: the role of the problem

Michael Gr. Voskoglou (pagg 113-120) (English Version)

 

La géométrie dans l’enseignement secondaire et en formation de professeurs des écoles : de quoi s’agit-il ?

Bernard Parzysz (pagg121-144) (Version Francais)

 

The Pohlke-Schwarz Theorem and its Relevancy in the Didactics of Mathematics

Zita Sklenáriková&Marta Pémová (pagg 145-157) (English Version)

 

Anthropo-didactic study of arithmetic teaching the among pupils of 9-10 years Case of teacher-pupil interactions

 Bernard Sarrazy (pagg 158-166)  (English Version)

 

La narrazione in matematica nell’insegnamento/apprendimento in situazione di multiculturalità

Daniela Carlino (pagg 167-186) (Italian Version)

 

Lo sviluppo delle capacità visuo-spaziali in un ragazzo con sindrome di Williams: analisi di un caso

Paola Brigaglia (pagg 187-201) (Italian Version)

 

Se e quando si raggiunge il pensiero algebrico

Teresa Marino, Benedetto Di Paola (pagg 202-215) (Italian Version)

 

 

 

 

The "Quaderni di Ricerca in Didattica" of GRIM were born in the 1990. The "Quaderni" they are interested in research in mathematics education (or in communication of mathematics).
The general line of "Quaderni" favours the contributions of seminars of GRIM. They consider a proposal contributions in connection with the research subject developed from the GRIM. Such are the contributions concerning the research about the communication of mathematics: Epistemology, History of mathematics, Elementary mathematics, Philosophy of mathematics, Foundation of mathematics, Psychology, Linguistics, Neurophisiology, Cognitive science,
The "Supplements" will include thesis doctorats degree of research in mathematics education, history of mathematics, History of science, achieved in Italy and in foreign countries.
Every article is preceded with a summary in: Italian, English, French and Spanish languages.
Every article published on the review is submitted referee from at least two members of editorial board.

I Quaderni di Ricerca in Didattica del G.R.I.M. sono nati nel 1990 con lo scopo di colmare un vuoto che si riteneva esistente nel panorama editoriale Italiano su argomenti riguardanti espressamente la ricerca in Didattica delle Matematiche (o in Comunicazione delle Matematiche).
L'indirizzo generale dei quaderni privilegia i contributi relativi alle attività seminariali del G.R.I.M., non trascurando però di prenderne in considerazione altri che, pur non essendo direttamente legati ad attività seminariali, sono stati comunque in stretta connessione con i temi di ricerca sviluppati dal gruppo. Tali sono in special modo i contributi riguardanti la ricerca sulla Comunicazione delle Matematiche: Epistemologia, Storia delle Matematiche, Matematiche Elementari, Filosofia delle Matematiche, Fondamenti delle Matematiche, Psicologia, Linguistica, Neurofisiologia, Scienze cognitive, Intelligenza Artificiale.
I Supplementi ospiteranno Tesi di Dottorato di Ricerca in Didattica delle Matematiche, Storia delle Matematiche, Storia delle Scienze, conseguite sia in Italia che all'estero. Con i Supplementi il G.R.I.M. vuole offrire, ai ricercatori in Didattica delle Matematiche, uno strumento agile che, in tempo reale, metta a disposizione della comunità materiale di ricerca difficilmente reperibile nel mercato editoriale. Le riviste specializzate non possono accettare la pubblicazione di una tesi di Dottorato in versione integrale, in quanto troppo lunga e quindi poco diffondibile per un largo pubblico.
Ogni articolo é preceduto dal sommario in almeno due lingue straniere.

Editorial

Ogni articolo é preceduto da un breve commento in italiano e dall'abstract in inglese.

(Every article is preceded by a brief comment in Italian and from the abstract in English)

 

1. Forme del pensiero nella Didattica della matematica: riflessioni e ricadute didattiche

Nucleo di Ricerca in Didattica Università di Udine (pagg 1-99) (Italian Version)

 

Sommario. La capacità degli studenti di dare forma e organizzazione al proprio pensiero, in particolare a quello matematico, ha bisogno, oggi più che mai, di venire esercitata in modo esplicito e consapevole. Si riportano le riflessioni su questo argomento elaborate durante i seminari del Nucleo ed alcune esperienze didattiche, che sono sembrate adatte a far produrre dagli studenti delle proposte personali o di gruppo e poi a farle confrontare e valutare criticamente. Le esperienze hanno riguardato classi elementari, medie e del biennio superiore.

 

Abstract. Today’s student needs, more than ever, the capability to shape and to organize his thinking, especially the mathematical one, in a way both explicit and conscious. This paper reports some reflections made by the members of NRDM on the issues implyed by that need, along with the didactict experiences made during their teaching activities in primary and secondary schools. These experiences allowed the students to work out their own views on some mathematical topics, to confront them critically and to evaluate the outcomes.

 

2. Evoluzione, Tempo, Endofisica

Rosolino Buccheri  (pagg. 100-112) (Italian Version)

 

 Sommario. Viene discussa la persistente necessità per un cambio di paradigma nella scienza e nel modo comune di pensare, dalla prospettiva della exofisica, tipico del realismo classico, alla endofisica, dove non viene trascurata l'interazione reciproca tra noi e l'ambiente. La necessità viene fuori dal dibattito continuo sull'interpretazione della Meccanica Quantistica in relazione con l'investigazione del micromondo e dal problema irrisolto della compatibilità del tempo della fisica ineare, reversibile ed non strutturato con l'altro tempo strutturato della nostra percezione dotato di una freccia irreversibile. La necessità nel cambio proposto di paradigma é ancora più chiara se noi focalizziamo la nostra attenzione alla formazione di una rappresentazione del mondo esterno nella nostra mente, un processo simile a quello osservato in natura in tutti i sistemi fisici complessi auto-organizzanti - inclusi gli organismi viventi e le società umane - che producono ordine in competizione col secondo principio della termodinamica. In tale schema concettuale, infatti, l'acquisizione di conoscenza nell'uomo é in interazione continua e stretta con l'ambiente ed il risultato è sempre una situazione nuova nella quale sia l'uomo (con la sua rappresentazione del mondo) e l'ambiente è cambiato irreversibilmente.

 

Abstract. It is discussed the persisting necessity for a change in paradigm in science and in the common way of thinking, from the exophysical perspective, typical of the classic realism, to an endophysical one, where the mutual interaction between us and the environment is not neglected. The necessity clearly results from the continuous debate on the interpretation of Quantum Mechanics in relation with the investigation of the microworld and from the unresolved problem of the compatibility of the linear, reversible and unstructured time of physics with the highly structured time of our perception endowed with an irreversible arrow. The necessity in the proposed change in paradigm is still clearer if we focus our attention to the formation of a representation of the external world in our mind, a process similar to that observed in nature in all complex self-organizing physical systems - including living organisms and human societies - producing order in competition with the second principle of thermodynamics. In such a conceptual schema, in fact, the acquisition of knowledge in man occurs in continuous and strict interaction with the environment and the result is always a new situation in which both man (with his representation of the world) and the environment are irreversibly changed. 

 

3. Formalism and intuition in mathematics: the role of the problem

Michael Gr. Voskoglou (pagg 113-120) (English Version)

 

Sommario. Una caratteristica principale della filosofia intuitiva- induttiva delle matematiche è l'attenzione data ai processi del problem-  solving, in contrasto alla filosofia formalistico-produttiva dove l'enfasi è data al contenuto. Perciò una domanda cruciale è quella di capire quale è il ruolo che problema ha per l'apprendimento delle matematiche.
Lo scopo del presente lavoro è dare una risposta a questa domanda. E' stata proposta una revisione dell'evoluzione dei processi del problem-solving nell'educazione matematica da quando Polya presentò le sue prime idee sull'argomento fino ad oggi - in contrasto ad altri punti di vista esistenti che danno enfasi ad altri fattori del processo di apprendimento come l'acquisizione di uno schema appropriato, l'automazione di regole, ecc e sono affermate le nostre credenze e conclusioni personali.
 

Abstract. A main characteristic of the intuitive – inductive philosophy of mathematics is the attention given to the problem – solving processes, in contrast to the formalistic – productive philosophy where emphasis is given to the content. Therefore a crucial question is what is actually the role that problem plays for the learning of mathematics.

The aim of the present paper is to give an answer to the above question. For this a review of the evolution of the problem – solving process in mathematical education is attempted – from the time that Polya presented his first ideas on the subject until today -  in contrast to other existing views giving emphasis to other factors of the learning process like the acquisition of the proper schemas, the automation of rules, etc and our personal conclusions and beliefs are stated.

                    4. La géométrie dans l’enseignement secondaire et en formation de professeurs des écoles : de quoi s’agit-il ?

                                Bernard Parzysz (pagg121-144) (Version Francais)

Sommario: La geometria insegnata, dall'insegnamento primario all'università, si costituisce come una modellizzazione dello spazio fisico ed evoluto di una "geometria dell'osservazione" ad una "geometria della dimostrazione". Ci si può rendere conto di questa evoluzione considerando parecchi paradigmi geometrici distinti. A livello dell'insegnamento obbligatorio, si può in particolare distinguere due paradigmi: una geometria "spazio-grafica" (o G1) ed una geometria "proto-assiomatica" (o G2). Infatti, la risoluzione di un problema di geometria elementare consiste in una successione di andata e ritorno tra G1 e G2, centrata sulla "figura". Questa gioca un ruolo cruciale nel processo; in effetti, benché costituisca un aiuto prezioso nelle congetture, può egualamnte costituire un ostacolo alla dimostrazione, perché "l'evidenza della figura" può essere sorgente di confusione nell'utilizzazione dei dati.

La ricerca qui riportata si é interessata ai rapporti ai saperi geometrici dei futuri insegnanti francesi; essa consiste nell'eleborazione ed analisi di un questionario e di un intervento di formazione, in ambiente carta, penna ed informatica (software di geometria dinamica Cabri geometria). I risultati ottenuti mostrano che, se questi studenti hanno alcune conoscenze in G2, non rilegano necessariamente il saper-fare (costruzioni geometriche classiche) ai teoremi che li giustificano; d'altra parte, la loro "geometria personale" ha tendenza ad amalgamare G1 e G2. Infine, lo studio del discorso "meta" suggerisce che interventi puntuali del professore possono aiutare a prendere coscienza dell'esistenza dei due paradigmi.

 

Abstract. The geometry which is taught from elementary school to university is commonly viewed as a modelisation of physical space and it evolves from an « observation geometry » to a « mathematical proof geometry ». This evolution can be described with the help of a few different geometrical paradigms. At compulsory school level, two such paradigms can be distinguished : a « spatio-graphic » geometry (or G1) and a « proto-axiomatic » geometry (or G2). In fact, solving a geometrical problem consists of repetedly moving from G2 to G1 and back. It is centred on the « figure », which plays a crucial role in the process because, although it is of considerable help for conjecturing, it can also constitute an obstacle to working out a mathematical proof since the « figure obviousness » can be a source of confusion in using the data.

The research which is here reported focused on the French preservice school-teachers’ relation to geometrical knowledge; it consisted in working out and analysing a questionnaire and a teaching session, both in paper + pencil and computer (namely Cabri geometre software) environments. The results show that, although students have indeed a positive theoretical geometrical knowledge (within G2), they do not always link their technical knowledge (i.e. classical geometrical constructions) with the theorems which justify it; besides, their « personal geometry » tends also to confuse G1 and G2. And, finally, the study of the « meta » discourse during the verbal debates suggests that limited interventions of the teacher may help the students to become aware of the existence of two distinct paradigms.

 

5. The Pohlke-Schwarz Theorem and its Relevancy in the Didactics of Mathematics

Zita Sklenáriková&Marta Pémová (pagg 145-157) (English Version)

 

Riassunto. Il teorema fondamentale dell’Assonometria obliqua é stato pubblicato da Karl Pohlke (1830 – 1876) nel primo volume del suo libro “Geometria descrittiva” (Berlin, 1860) senza la dimostrazione con un avviso che “La dimostrazione di questo teorema sembra non poter essere fatta elementarmente perciò si deve riservarla per il secondo volume”. Subito dopo – nel corso del tempo, per più di mezzo secolo – tanti matematici (persino i più grandi) eseguivano le dimostrazioni del teorema, quelle sintetiche e anche analitiche. L’articolo offre – oltre la storia delle dimostrazioni del teorema di Pohlke – una dimostrazione semplice e luminosa – presentata da H. A. Schwarz (1843 – 1921), un giovane studente di Pohlke nel 1864. Lo scopo principale dell’articolo è mettere in evidenza la relazione stretta fra il metodo di rappresentazione di Assonometria obliqua e quello di proiezione parallela “libera” utilizzata nella pratica scolastica nel corso dell’insegnamento /apprendimento della Stereometria (Geometria elementare dello E₃-spazio). In conclusione nel testo ci sono le note riguardante il problema della completezza dell’immagine obliqua di una figura geometrica (riguardo ai problemi di natura posizionale e/o ai problemi di natura metrica concludendo i problemi della perpendicolarità).   

Abstract. As soon as the first volume of “Descriptive Geometry” by Karl Pohlke (1810 – 1876) has appeared (Berlin, 1860), inclusive the fundamental theorem of oblique axonometry with a note that “the proof of the theorem probably could not be accomplished in an elementary way and that was why it was taken off for the second volume of the book”, both synthetic and analytic proofs has been made by many mathematicians within the time period longer than half a century. The paper presents – besides the history of proofs of the Pohlke’s theorem – the genial elementary proof of the generalized statement introduced by a young pupil of Pohlke, H. A. Schwarz (1843 – 1921) in 1864. The main goal of this paper is to point out the close connection between the method of oblique axonometry and a “free” parallel projection used in school practice within the intuition in stereometry. In conclusion there are notes on the problem of the completeness of the oblique image of a geometrical figure (considering the problems of geometry of position as well as problems involving perpendicularity and metrical problems).

6. Anthropo-didactic study of arithmetic teaching the among pupils of 9-10 years Case of teacher-pupil interactions

 Bernard Sarrazy (pagg 158-166)  (English Version)

 

Sommario. Quali funzioni didattiche assicurano le interazioni insegnante-allievo nell'insegnamento delle matematiche? Le interazioni saranno qui temute come modi di adattazione dell'azione dei professori a due tipi di assoggettamenti: il primo, definito nel quadro antropologico, permette di reperire un certo numero di condizioni non-didattiche (le concezioni pedagogiche dei professori, per esempio); il secondo, strettamente didattico, permette di identificare le condizioni oggettive dell'insegnamento. Questo doppio inquadramento (antropologico-didattico) permette di mostrare che le diverse forme di interazione si spiegano come una sorta di risultante dell'adeguamento (o non) di questi due tipi di assoggettamenti; così, una stessa forma interattiva testimonia intenzioni didattiche molto differenti ed ingenera effetti cognitivi variabili secondo i differenti contesti didattici.

Abstract. Which didactical functions are assumed by interactions between the teacher and pupils in mathematical teaching ? These interactions are in the present case approached as adaptations of modes of the teachers’ action to two types of subservience : the first case, defined within anthropological limits, allows identification of a certain number of non-didactical conditions (the teachers’ pedagogical conceptions, for instance) ; the second case, strictly didactical, permits the identification of the objective conditions of teaching. This two-way approach (anthropo-didactical) shows that the different forms of interaction can be explained as a result of the adequacy (or inadequacy) of these two types of subserviences ; therefore, a unique interactive form gives evidence of very different didactical intentions and generates varying cognitive effects according to the different didactical contexts.

7. La narrazione in matematica nell’insegnamento/apprendimento in situazione di multiculturalità

Daniela Carlino (pagg 167-186) (Italian Version)

 

Sommario. L’Obiettivo del lavoro è quello d’indagare sulla narrazione nell’insegnamento/ apprendimento in matematica. In particolare, dimostrare come gli alunni di diverse culture, italiani e cinesi, della scuola primaria (allievi 8-9 anni), reagiscono e rispondono alle situazioni- problema, mediante la narrazione di una fiaba.

La narrazione è da interpretare attraverso l’algoritmo risolutivo che il bambino s’impegna nel governare i suoi processi di ragionamento, in riferimento alla comprensione del contesto individuato e attraverso i diversi linguaggi utilizzati, (linguaggio naturale, iconico, narrativo…). Attraverso la fiaba, la matematica si riempie di espressioni, di emozioni ed il bambino risolve la situazione- problema, in maniera corretta, solo se capisce il contesto narrativo.

Si pone l’attenzione sulle strategie e le procedure messe in atto dagli alunni italiani e cinesi, verificando in che modo la narrazione influenzi l’algoritmo risolutivo e le successive rappresentazioni. Infine, si cerca d’interpretare le ragioni che conducono alle differenze in situazioni di multiculturalità.

 

Abstract. The objective of this paper is to investigate on the narration in the teaching / learning in mathematics. Particularly, to show as the pupils of different cultures, Italians and Chinese, of the primary school (students 8-9 years), they react and they answer to the situations - problem, through the narration of a fable.
The narration is to interpret through the decisive algorithm that his/her child undertake in to govern his/her processes of reasoning, in reference to the understanding of the located context and through the different used languages, (natural language, iconic, narrative…). Through the fable, the mathematics fills of expressions, of emotions and his/her child resolves the situation - problem, in correct way, only if he understands the narrative context.
You sets the attention on the strategies and the procedures used by Italian and Chinese pupils, verifying how the narration influences the decisive algorithm and the following representations. It is finally tried to interpret the reasons that conduct to the differences in situations of multiculturality.
 

8. Lo sviluppo delle capacità visuo-spaziali in un ragazzo con sindrome di Williams: analisi di un caso

Paola Brigaglia (pagg 187-201) (Italian Version)

 

Sommario. In questo articolo si presenta un’esperienza di insegnamento di sostegno con un ragazzo affetto da Sindrome di Williams. La maggior parte delle attività sono state costruite con gli obiettivi di sviluppare le competenze nell’area visuo-spaziale e quelle nell’area socio-relazionale. Questa esperienza viene inquadrata nei suoi aspetti teorici, da un punto di vista didattico, epistemologico e neuropsicologico. Pur rimanendo aperte molte questioni, ritengo che le mie riflessioni su questa esperienza possano essere di aiuto ad altri insegnanti, che si trovino in contatto con situazioni analoghe.

 

Abstract. In this paper, we present an experience of teaching to a boy affected by Williams’ syndrome. We thought most of the activities with the objective to develop the competences in the visuo-spatial and socio-relational areas. This experience is framed in its theoretical aspects, from a didactical, epistemological and neuropsychological point of view. Even if many questions are still open, I think that my reflections on this experience can give help to other teachers, that are in similar situations.

 

9.  Se e quando si raggiunge il pensiero algebrico

Teresa Marino, Benedetto Di Paola (pagg 202-215) (Italian Version)

 

Sommario. Il presente articolo, nato come naturale ampliamento dei precedenti lavori sull’analisi d’alcune problematiche relative al passaggio dal pensiero aritmetico al pensiero algebrico, vuole essere un ulteriore approfondimento sull’argomento trattato, attraverso non soltanto un’analisi critica dei risultati precedentemente ottenuti ma anche, la strutturazione e l’utilizzo di un’ulteriore strumento di indagine sperimentale che in una prima approssimazione potrebbe essere considerato più oggettivo ed esplicativo dei precedenti in termini di lettura dei dati raccolti e quindi analisi dei fenomeni di insegnamento/apprendimento riferiti all’Algebra.

L’esperienza descritta è frutto di un lavoro condotto parallelamente in tre differenti indirizzi di scuola secondaria superiore ed in un primo anno d’Università a Palermo.

La metodologia sperimentale si basa sulla progettazione e l’interpretazione dei grafici elaborati con il software Chic.

Il lavoro s’inserisce in un quadro di un più vasto progetto di ricerca che si sta affrontando all’interno del G.R.I.M. di Palermo

Abstract. The present article, thought as natural implications of the precedents research works substantially contemplated on the analysis of some problematic related to he passage from the arithmetical thought to the algebraic thought, wants to be a further examination on the treated matter, through not only a critical analysis of the previous results but also, with the structuring and the use of a further tool of investigation that in a first approximation it could consider more objective and explanatory than the precedent ones, in terms of reading the picked data and therefore analysis of the teaching/learning phenomenon reported to the Algebra. 

The described experience comes out from a research work conducted parallelly in three different addresses of upper secondary school and in a first year of University in Palermo. The experimental methodology is based on the planning and the interpretation of the elaborate graphs with the Chic software.  

This work is inserted in a more vast project of research conducted inside the G.R.I.M. of Palermo

La ricerca documentata dal presente quaderno si svolge con contributi del MURST cofinanziamento (ex 40%) 200
Il recapito della redazione é il seguente (The address of editor is):
G.R.I.M. (Gruppo Ricerca Insegnamento delle Matematiche) Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Via Archirafi,34 - 90123 - PALERMO.
Tel. 0039 (091) 6040434 - Fax. (091) 6165425
E-Mail:  spagnolo@math.unipa.it
I Quaderni di Ricerca in Didattica del GRIM sono in INTERNET al seguente indirizzo: menuquad.htm
In INTERNET all'indirizzo http://dipmat.sites.unipa.it/grim vengono fornite informazioni sull'attività di Ricerca e Formazione del GRIM.
In Internet si trovano anche, per alcuni articoli, versioni in altre lingue. Codice ISSN della versione On-Line della rivista:  1592-4424.
Ogni lavoro pubblicato nella rivista é sottoposto a referee da parte di almeno due esponenti del Comitato Scientifico.

Istruzioni per gli autori

Gli articoli, in triplice copia vanno inviati al Direttore Responsabile della rivista: prof. Filippo Spagnolo, "Quaderni di Ricerca in Didattica" del G.R.I.M., Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO.
Gli articoli, dopo essere stati accettati, vengono inviati in copia cartacea con stampa in stampante Laser e dischetto. Il testo deve essere composto preferibilmente con il WORD sia per PC che per Macintosh specificando la versione. Utilizzare  il carattere "Times New Roman".
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Ogni articolo deve essere preceduto da un sommario in almeno due lingue straniere, rispetto corrispondente spazio del supporto cartaceo ma esportabili facilmente. alla redazione dell'articolo. Se ad esempio l'articolo è in inglese si considerano lingue straniere l'italiano e lo spagnolo. Si accettano articoli in inglese, francese, spagnolo