"QUADERNI DI RICERCA IN DIDATTICA" of G.R.I.M.
N.19- PALERMO 2009

Review Editor:
Filippo SPAGNOLO

Editing board: Benedetto Di Paola.

Editorial board:
Mahdi ABDELJAOUAD, Michele ARTIGUE, Ferdinando ARZARELLO, Maria BARTOLINI BUSSI, Aldo BRIGAGLIA, Guy BROUSSEAU, Maria POLO, Bruno D'AMORE, Fayez MINA, Raffaella FRANCI, Fulvia FURINGHETTI, Joseph GASCON, Athanasios GAGATSIS, Claire MARGOLINAS, Pietro NASTASI, Règis GRAS, Luis RADFORD, Alan ROGERSON, Aldo SCIMONE, Ivan TRENCANSKY.

Summary

Ipermedia e pensiero: osservare e riflettere nella scuola della complessità

Loredana Pecoraro (pp. 1-23) (Italian Version) (English Version)

The Mathematics teacher in the modern society

Michael Gr. Voskoglou (pp. 24-30) (English Version)

Acalculia, modularità e studi neuropsicologici.

Mario Graziano (pp. 31-44 ) (Italian Version)

Storia e didattica della matematica, una prospettiva ermeneutica

Giorgio T. Bagni (pp. 45-57) (Italian Version)

Un nuovo modello interpretativo di alcuni fenomeni acustici, Il sistema formale circolare armonico (Circular Harmonic System C.HA.S.)

Alfredo Capurso (pp. 58-82) (Italian Version) (English Version)

Planting the seeds of Action Research for the revitalization and professionalism of Mathematics teachers

Mara Saeli (pp.83-100) (English Version)

I sistemi indeterminati nei "Nove Capitoli" di Liu Hui. Il ruolo del "contesto" per determinare l'"algoritmo fondamentale" come strumento argomentativo.

Benedetto Di Paola & Filippo Spagnolo (pp.101-171) (Italian Version)

Insights into Game Theory: An Alternative Mathematical Experience

Ein-Ya Gura (pp.172-183) (English Version)

Logica antica e logica moderna

Carlo Penco (pp. 184-210) (Italian Version)

Situation fondamentale caractéristique des connaissances relatives a la structuration algébrique des nombres

Mohamed Bahra, Ahmed Azouggarh (pp. 211-252) (Version Français)

Argomentare e dimostrare in registri semiotici diversi

Luigi Menna (pp.253-262) (Italian Version)

Le diversità culturali nelle concezioni di Strategia e Tattica tra Oriente ed Occidente osservate attraverso gli scacchi ed il wei-ch’i e le connessioni con la  Didattica.

G. D’Eredità & F. Spagnolo (pp.263-283) (Italian Version)

Qu’est-ce qui permet le contraste entre l’analyse a priori et l’analyse a posteriori ?

E. Lacasta, J. R. Pascual, M. R. Wilhelmi (pp.284-297) (Version Français)

Studio dei grafici di funzione nella scuola primaria

M.L. LoCicero & F. Rallo (pp.298-344) (Italian Version)

General line of "Quaderni"

The "Quaderni di Ricerca in Didattica" of GRIM were born in the 1990. The "Quaderni" they are interested in research in mathematics education (or in communication of mathematics).
The general line of "Quaderni" favours the contributions of seminars of GRIM. They consider a proposal contributions in connection with the research subject developed from the GRIM. Such are the contributions concerning the research about the communication of mathematics: Epistemology, History of mathematics, Elementary mathematics, Philosophy of mathematics, Foundation of mathematics, Psychology, Linguistics, Neurophisiology, Cognitive science,
The "Supplements" will include thesis doctorats degree of research in mathematics education, history of mathematics, History of science, achieved in Italy and in foreign countries.
Every article is preceded with a summary in: Italian, English, French and Spanish languages.
Every article published on the review is submitted referee from at least two members of editorial board.

Indirizzo generale dei Quaderni

I Quaderni di Ricerca in Didattica del G.R.I.M. sono nati nel 1990 con lo scopo di colmare un vuoto che si riteneva esistente nel panorama editoriale Italiano su argomenti riguardanti espressamente la ricerca in Didattica delle Matematiche (o in Comunicazione delle Matematiche).
L'indirizzo generale dei quaderni privilegia i contributi relativi alle attività seminariali del G.R.I.M., non trascurando però di prenderne in considerazione altri che, pur non essendo direttamente legati ad attività seminariali, sono stati comunque in stretta connessione con i temi di ricerca sviluppati dal gruppo. Tali sono in special modo i contributi riguardanti la ricerca sulla Comunicazione delle Matematiche: Epistemologia, Storia delle Matematiche, Matematiche Elementari, Filosofia delle Matematiche, Fondamenti delle Matematiche, Psicologia, Linguistica, Neurofisiologia, Scienze cognitive, Intelligenza Artificiale.
I Supplementi ospiteranno Tesi di Dottorato di Ricerca in Didattica delle Matematiche, Storia delle Matematiche, Storia delle Scienze, conseguite sia in Italia che all'estero. Con i Supplementi il G.R.I.M. vuole offrire, ai ricercatori in Didattica delle Matematiche, uno strumento agile che, in tempo reale, metta a disposizione della comunità materiale di ricerca difficilmente reperibile nel mercato editoriale. Le riviste specializzate non possono accettare la pubblicazione di una tesi di Dottorato in versione integrale, in quanto troppo lunga e quindi poco diffondibile per un largo pubblico.
Ogni articolo é preceduto dal sommario in almeno due lingue straniere.

Editorial

Ogni articolo é preceduto da un breve commento in italiano e dall'abstract in inglese.

(Every article is preceded by a brief comment in Italian and from the abstract in English)

1. Ipermedia e pensiero: osservare e riflettere nella scuola della complessità

Loredana Pecoraro (pp. 1-23) (Italian Version) (English Version)

Sommario. I processi di innovazione in atto e l’introduzione delle nuove tecnologie, che già nella società avevano sconvolto il sistema culturale, determinano nella scuola grandi cambiamenti: cambia il bambino, cambia il modo di apprendere, cambia il modo di insegnare.

Questo lavoro presenta una ricerca realizzata nella scuola secondaria di primo grado. L’insegnante riflette sui processi mentali dell’alunno mentre esplora e crea un ipermedia, sul processo di costruzione della conoscenza e sulle dinamiche che entrano in gioco. L’insegnante osserva l’alunno durante l’intero processo, monitorando e documentando ogni momento.

Pensiero e ipermedia presentano alcune caratteristiche comuni: non linearità, reticolarità, flessibilità. Il ruolo dell’osservazione e della riflessione nella normale pratica didattica, aiuta l’insegnante a superare i limiti del pensiero della logica classica.

Abstract. The processes of change and the introduction of the new technologies, which had already upset  the cultural system of the society, determines great changes in the school: the child is changing, the way of learning is changing, the way of teaching is changing.

This  work presents a research realized in a secondary school. The teacher  reflects on the mental operations of the learner while he is exploring and building an hypermedia and on  processes of construction of the knowledge  and on his dynamics. The teacher observes  learner during the whole process, monitoring and documenting every moment.

Hypermedia and thinking are some main similar features: nonlinearity, reticular structure, flexibility. The role of  observation and reflection in teaching practice helps the teacher  to surpass the  limits of academic thinking.

2. The Mathematics teacher in the modern society

Michael Gr. Voskoglou (pp. 24-30) (English Version)

Abstract. In the present paper we refer to the status of the mathematics teacher in the contemporary society.  In particular we consider the role that the teacher plays for the learning of mathematics and the desirable characteristics  of a competent mathematics teacher. The proper professional training, that helps the acquisition and development of these characteristics is also a parameter of our investigation. Examples from Greece are used to illustrate our remarks and conclusions.

3. Acalculia, modularità e studi neuropsicologici.

Mario Graziano (pp. 31-44 ) (Italian Version)

Sommario. L’abilità di calcolo rappresenta un processo cognitivo estremamente complesso. In letteratura, infatti, l’abilità di calcolo è stata classificata da diversi autori come una capacità multifattoriale comprendente diverse funzioni quali, ad esempio, funzioni di capacità verbali, spaziali, di memoria e le abilità di esecuzione. L’acalculia è frequentemente menzionata negli studi di neurologia ed in clinica neuropsicologica, nonostante la ricerca indirizzata specificatamente ad un’analisi dell’acalculia sia piuttosto rara: test per le capacità di calcolo sono sempre incluse, infatti, nella valutazione psicologica o neuropsicologica della cognizione, ma un esame specifico indirizzato esclusivamente per l’acalculia è difficilmente riscontrabile nella letteratura scientifica. Nonostante questo vi è una sorta di accordo generale che la capacità di calcolo è una funzione cognitiva estremamente importante.

Abstract. Calculation ability represents an extremely complex cognitive process. It has been understood to represent a multifactor skill, including verbal, spatial, memory, and executive function abilities. Acalculia is frequently mentioned in neurological and neuropsychological clinical reports, but research directed specifically to the analysis of acalculia is rather limited: tests for calculation abilities are always included in the psychological or neuropsychological evaluation of cognition, but a specific standardized test battery with norms for acalculia is hardly found . Thus, acalculia is in a somewhat peculiar position amid the cognitive disturbances encountered in cases of brain pathology. Although there is a general consensus that calculation ability represents an extremely important type of cognition.

Résume. La capacité de  calcule représente un procès cognitif extrêmement complexe. En littérature, en effet, la capacité de  calcule a été classifiée  divergés d'auteurs comme une capacité multifactorielle comprenant des différentes fonctions quels, par exemple, des fonctions de capacités verbales, spatiales, de mémoire et des adresses d'exécution. L'acalculia est fréquentement mentionnée dans les études de neurologie et en la clinique neuropsicologica, malgré la recherche adressée spécifiéement à des analisi de l'acalculia soit plus plutôt rare : test pour les capacités de  calcule sont toujours inclus, en effet, en évaluation psychologique ou neuropsicologica de la cognition, mais un examen spécifique adressé exclusivement pour l'acalculia est difficilement contrôlable dans la littérature scientifique. Ainsi, l'acalculia se trouve dans une position plus plutôt singulière au milieu des dérangements cognitifs rencontrés en cas de pathologie cérébrale. Malgré celle-ci vous est une sorte d'accord général que la capacité de calcule représente un type de cognition extrêmement importante.

4. Storia e didattica della matematica, una prospettiva ermeneutica

Giorgio T. Bagni (pp. 45-57) (Italian Version)

Abstract.  In this paper we shall describe an hermeneutic approach to mathematics teaching and learning, with reference to the introduction of infinite series by some historical references. Our theoretical framework is based upon some ideas by Heidegger and Gadamer. More particularly, we shall consider a sequence of pre–suppositions that can influence students’ conceptions, and different kinds of inference (deductive, inductive, abductive inferences) leading them to change their viewpoints about infinite series.

Sommario. Nel presente articolo descriveremo un approccio ermeneutico all’insegnamento–apprendimento della matematica, con riferimento all’introduzione delle serie numeriche mediante alcuni spunti storici. Il nostro quadro teorico si basa su alcune idee di Heidegger e Gadamer. In particolare, considereremo una sequenza di pre–supposizioni che possono influenzare le concezioni degli allievi, nonché i diversi tipi di inferenza (inferenze deduttive, induttive e abduttive) che portano gli studenti a mutare i propri punti di vista a proposito delle serie.

5. Un nuovo modello interpretativo di alcuni fenomeni acustici, Il sistema formale circolare armonico (Circular Harmonic System C.HA.S.)

Alfredo Capurso (pp. 58-82) (Italian Version) (English Version)

Sommario. Questo articolo tratta i risultati di una ricerca sul suono, in particolare sulla corda vibrante e sulle combinazioni di frequenze da cui hanno origine i battimenti. Obbiettivo primo della ricerca è stato un ordinamento scalare di suoni che tenesse conto delle divergenti parziali armoniche 3 e 5, un modello che risultasse attendibile tanto sul piano teorico che su quello pratico. Parallelamente serviva una regola atta a compensare e gestire l’inarmonicità della corda, in parte responsabile dell’innalzamento delle frequenze parziali, da cui deriva la necessità di “allargare” anche il rapporto 2:1 dell’intervallo di ottava. Il modello chas congiunge gli effetti delle frequenze parziali e allarga tutti gli intervalli di scala in reciproca funzione. Ma come ordinare una scala di frequenze in modo proporzionale senza la ragione 2:1?

L’autore, confrontando sistematicamente le frequenze dei battimenti, ha potuto rilevare una nuova “costante di differenza”, ossia un battimento in proporzione 1:1 sulle parziali armoniche 3 e 4. L’ordinamento di suoni qui descritto rappresenta quindi un insieme di frequenze proporzionali in funzione di battimenti sincronici, un sistema dinamico stabile e perfettamente risonante.

Abstract. This article presents the results of research into sound, specifically vibrating strings and the frequency combinations which give rise to beats. The main aim of the research was to define a sound scale that takes account of the divergent partials 3 and 5,  and to construct a reliable model in both theoretical and practical terms. At the same time there was a need for an exact rule able to counterbalance and manage the chord inharmonicity partly responsible for increases in partial frequencies, which give rise to the need to “stretch” the 2:1 octave interval ratio. The chas model conjoins the scale effects of partial frequencies and stretches all the scale intervals to place them in reciprocal function.  The question was how to order a scale of frequencies in proportional terms without the 2:1 ratio. Systematic analysis of beats frequencies revealed a new “difference constant”, that is, a 1:1 beats ratio on  partials 3 and 4. The sound scale described below thus constitutes a proportionate frequency set as a function of synchronic beats: a dynamic, stable and perfectly resonant system.

6. Planting the seeds of Action Research for the revitalization and professionalism of Mathematics teachers

Mara Saeli (pp.83-100)  (English Version)

Abstract. Teachers with many years of experience often do not have the same enthusiasm as at the beginning of their career. My aims in this research were to study what influence Action Research has on Mathematics teachers’ revitalization and professionalism, and to study which strategies might bring teachers to be involved in the processes of Action Research. For this last purpose I developed a Booklet though which teachers can be introduced to such a strategy. I worked with two Sicilian high school teachers in an intervention that took place in classes at 2^nd and a 3^rd grade (15 to 17 yrs.). I involved them individually in the processes of Action Research through two projects based on this strategy, using qualitative methodologies to collect my data. My role in this research was, to a certain extent, quite unusual since besides being a researcher, I was also supporter, advisor, and developer of the teaching and learning material. From the findings we can see that teachers involved in the processes of Action Research can indeed be revitalized, and several aspects of their professionalism can be influenced.

7. I sistemi indeterminati nei "Nove Capitoli" di Liu Hui. Il ruolo del "contesto" per determinare l'"algoritmo fondamentale" come strumento argomentativo.

Benedetto Di Paola & Filippo Spagnolo (pp.101-171) (Italian Version)

Sommario. Si analizza il problema 8.13 sui sistemi indeterminati dei “Nove Capitoli” nel commentario di Liu Hui confrontandolo con analoghi problemi della cultura occidentale. Si ipotizza la scelta del problema concreto sulla base della ricerca, nei Nove Capitoli, dell’algoritmo fondamentale come strumento argomentativo fondante per la matematica cinese classica. Si ipotizza che il contesto possa giocare un ruolo importante nella scelta delle questioni argomentative cinesi (Spagnolo, 2005). Il lavoro storico è corredato dall’appendice 2 riguardante una traduzione in italiano dell’intero capitolo 8 sui sistemi indeterminati dei Nove Capitoli (Chemla&Shuchun, 2004) e dall’appendice 3 riguardante una comparazione Gauss-Cramer sullo stesso argomento.

Abstract. We analyzes the problem 8.13 on the indeterminate systems of the "Nine Chapters" in the Liu Hui’s commentary, comparing it with analogous problems of the western culture. We hypothesizes the choice of the concrete problem on the base of research, in the Nine Chapters, of a fundamental algorithm as foundational argumentative instrument for the classical Chinese mathematics. We hypothesizes that the context can play an important role in the choice of the argumentative Chinese questions (Spagnolo, 2005). The historical work is enriched by the appendix 2 regarding the translation in Italian of the whole chapter 8 on the indeterminate systems of the Nine Chapters (Chemla&Shuchun, 2004) and by the appendix 3 regarding a comparison Gauss-Cramer on the same subject

8. Insights into Game Theory: An Alternative Mathematical Experience

Ein-Ya Gura (pp.172-183) (English Version)

Abstract Few branches of mathematics have been more influential in the social sciences than game theory. In recent years, it has become an essential tool for all social scientists studying the strategic behavior of competing individuals, firms, and countries. However, the mathematical complexity of game theory is often very intimidating for students who have only a basic understanding of mathematics. Insights into Game Theory addresses this problem by providing students with an understanding of the key concepts and ideas of game theory without using formal mathematical notation. The authors use four different topics (college admissions, social justice and majority voting, coalitions and cooperative games, and a bankruptcy problem from the Talmud) to investigate four areas of game theory. The result is a fascinating introduction to the world of game theory and its increasingly important role in the social sciences.

9. Logica antica e logica moderna

Carlo Penco (pp. 184-210) (Italian Version)

Abstract. In this essay I give the main lines of a confrontation between ancient and modern logic, that is between logic before and after Frege. Much of the old ideas is recovered in the new logic, but after Frege logic is
something deeply different from Aristotelian logic. This shows that Kant was wrong when he asserted, in the preface of the second edition of the /Critique of Pure Reason/, that formal logic "could not make any advance so that it is to be cosidered  as complete". Not only logic was not completed with Aristotle, but we may also assert that logic today is connected to the old logic as chemistry is connected with alchemy. Some basic aspects are still valid, but the structure in which logicians work is much wider and complex than the structure of the old logic.  Although Aristotle's syllogism was a coherent system and stoic logic has developed  deep intuitions, only with the aid of mathematical symbolism logic could reach the most abstract achievements (like Gödel's theorem) and the most interesting applications (like symbolic artificial intelligence). While we have many introductions to logic, the historical reconstruction of the passage from old logic to contemporary logic is often disattended. This contribution gives a first direction for helping teachers to work on this direction. In the first paragraph I give a summary of the differences between Stoic and Aristotelian logics and I describe the Fregean turn which permitted the fusion of the two traditions after 2000 years of separation. In the second paragraph I try to make clear some differences between ancient and modern logic. The third paragraph is a sketch of  classical formal systems as an help to better understand the logical language used in the first two paragraphs.  

Sommario. In questo lavoro presento le linee di un confronto tra logica antica e logica moderna, cioè tra la logica prima di Frege e la logica dopo Frege, segnando con il nome di Frege – il fondatore della logica matematica – lo spartiacque tra due visioni della logica. Molto dell'antico rimane nel nuovo, ma la logica dopo Frege non è più la logica di Aristotele, bensì qualcosa di nuovo e inedito, che mostra quanto sbagliasse Kant nella prefazione alla seconda edizione della Critica della ragion pura, dove sosteneva che la logica "non ha potuto fare un passo innanzi, di modo che, secondo ogni apparenza, essa è da ritenersi come chiusa e completa". Non solo la logica formale non era chiusa e completa con Aristotele, ma la logica di oggi si situa rispetto alla logica di ieri come la chimica rispetto all'alchimia. Alcuni aspetti di base permangono, ma la struttura in cui lavora oggi lo studioso di logica è molto più ampia e articolata della logica antica. Per quanto Aristotele con la teoria del sillogismo avesse costruito un sistema di logica quasi perfetto nel suo genere, e per quanto gli stoici – i grandi logici dell'antichità – avessero avuto intuizioni incredibilmente attuali, solo con l'aiuto del simbolismo matematico la logica iniziò quel percorso scientifico che le ha permesso sia le astrazioni più elevate (come il teorema di Gödel) sia le applicazioni più eclatanti (come l'intelligenza artificiale). Mentre abbondano i libri di logica, la ricostruzione storica del difficile passaggio dalla logica antica a quella moderna non sempre riceve la dovuta attenzione. Queste poche pagine vogliono dare una prima ricognizione didattica in questa direzione. Si prova a non dare molto per scontato, anche se oggi si dovrebbe presumere una conoscenza base di logica; nel terzo paragrafo si forniscono comunque alcuni cenni di logica "classica" che possono essere utili per impadronirsi del linguaggio usato anche nei primi due paragrafi.

10. Situation fondamentale caractéristique des connaissances relatives a la structuration algébrique des nombres

Mohamed Bahra, Ahmed Azouggarh (pp. 211-252) (Version Français)

Résumé. L’introduction des nombres relatifs, du calcul littéral, des nombres rationnels, au collège, et des nombres complexes, au lycée, s’accompagne de l’institutionnalisation des algorithmes suivants : « la règle des signes », « la sommation de deux fractions, par réduction au même dénominateur », « la multiplication de deux fractions » et « le calcul des solutions de l’équation de second degré à coefficients réels, via le calcul du discriminant D ». Pour certains élèves l’expression « algèbre » renvoie à ces algorithmes et seulement à ces derniers. Cette conception de l’algèbre, qu’en hommage à Guy BROUSSEAU, nous qualifions de « sténographique » (voir l’épigraphe ci-dessus), nous la mettons en évidence et nous montrons son importance, en s’appuyant sur la méthode préconisée par la théorie des situations didactiques des mathématiques (TSD), laquelle méthode est basée sur le concept de ‘situation fondamentale’, développé par Guy BROUSSEAU, l’auteur de la TSD. Via ce concept, nous montrons que :

·         d’un coté, le Système d’Enseignement des Mathématiques fonctionne sous l’hypothèse erronée suivante : la conception sténographique de l’algèbre doit évoluer, chez l’élève : celui-ci saura la transformer, progressivement et spontanément, pour en faire l’outil de structuration des nombres, en le monoïde IN des entiers naturels, l’anneau Z des entiers relatifs, le corps Q des rationnels, le corps IR des réels et le corps C des complexes ;

·         et que d’un autre coté :

-    cette conception est la conception d’une majorité des étudiants arrivant à la fin des deux  premiers cycles universitaires ;

-    l’évolution de cette dernière vers l’outil de structuration des nombres, auquel elle devrait céder sa place chez ces étudiants, ne se manifeste guère ;

-    cette évolution est bloquée par le type de contrats didactiques successifs que le système didactique noue autour des notions de point, de nombre et de fonction ;

-    une refonte de ces contrats est nécessaire et doit être basée sur l’explicitation puis le franchissement de certains obstacles didactiques qui sont la véritable cause de la persistance de cette conception, jusque chez les étudiants des sections à forte teneur mathématique.

Sommario. L’introduzione dei numeri relativi, del calcolo letterale, dei numeri razionali, alle scuole medie, e dei numeri complessi, al liceo, si accompagna attraverso l’istituzionalizzazione dei seguenti algoritmi: “la regola dei segni”, “la somma di due frazioni, per riduzione allo stesso denominatori”, “moltiplicazione di due frazioni” e “calcolo delle soluzioni dell’equazione di secondo grado a coefficienti reali, attraverso il calcolo del discriminante D”. Per certi allievi l’espressione “algebra” rinvia a questi algoritmi e solamente a questi ultimi. Questa concezione dell’algebra, che in omaggio a Guy BROUSSEAU, chiamiamo “stenografica” (vedi l’epigrafe in alto), la mettiamo in evidenza e mostriamo la sua importanza, appoggiandoci sul metodo preconizzato dalla teoria delle situazioni didattiche di matematica (TSD), metodo basato sul concetto di “situazione fondamentale”, sviluppata da G.Brousseau, autore della TSD. Attraverso questo concetto, mostriamo che:

· da una parte il Sistema di Insegnamento delle Matematiche funziona sotto l’ipotesi erronea seguente: la concezione stenografica dell’algebra deve evolvere, nell’allievo: saprà trasformarla, progressivamente e spontaneamente, per farne uno strumento di strutturazione dei numeri, nel monoide IN di interi naturali, l’anello Z di interi relativi, il corpo Q dei razionali, il corpo IR dei reali ed il corpo C dei complessi;

· e che d’altra parte:

o    questa concezione è la concezione di una maggioranza di studenti che arrivano alla fine dei primi due cicli universitari;

o    l’evoluzione di questa ultima verso lo strumento di strutturazione dei numeri, al quale dovrebbe cedere il suo posto negli studenti, non si manifesta;

o    questa evoluzione bloccata dai tipi di contratti didattici successivi che il sistema didattico lega attorno alla nozione di punto, di numero e di funzione;

o    un rifacimento di questi contratti è necessario e deve essere basato sull’esplicitazione e poi il superamento di certi ostacoli didattici che sono causa della persistenza di questa concezione, sino agli studenti delle sezioni a forte tenore matematico.

11. Argomentare e dimostrare in registri semiotici diversi

Luigi Menna (pp.253-262 ) (Italian Version)

Sommario. Il presente lavoro espone i dati qualitativi e quantitativi di una sperimentazione condotta su studenti di una quinta classe di scuola media secondaria superiore (età 17-18), mirando a mettere in relazione le differenti argomentazioni di uno stesso problema all’interno di registri semiotici diversi (Duval, 1996). Più precisamente, si cercherà di analizzare le eventuali difficoltà generate dall’uso di un calcolatore (in particolare si farà uso del software Excel) per risolvere un dato quesito, esaminando, parallelamente, l’approccio degli studenti al problema attraverso un procedimento algebrico altamente formalizzato e mediante l’utilizzo di un software dinamico. La sperimentazione ha come riferimento teorico la Teoria delle Situazioni [Brousseau, 1997]; i dati sperimentali sono analizzati quantitativamente [R. Gras, 2000] e qualitativamente attraverso l’analisi dei protocolli.

Abstract: this essay deals with the qualitative data resulting from a research carried out on students of a fifth grade of high school  (age 17-18). Its purpose is to establish a relationship between the different topics of a same issue arisen during the interviews in different semiotic registers (Duval, 1996).. More precisely this paper will try to analyze the possible epistemological difficulties generated by the use of a computer (in particulary of Excel) to resolve a given question, by examining simultaneously the students’ approach to the problem through a highly formalized algebraic operation and the use of a dynamic software. The theoretical reference is the theory of didactical situations [Brousseau, 1997] and  the experimental data are analyzed quantitatively [R. Gras, 2000] and qualitatively through analysis of the protocols.

Le diversità culturali nelle concezioni di Strategia e Tattica tra Oriente ed Occidente osservate attraverso gli scacchi ed il wei-ch’i e le connessioni con la  Didattica.

G. D’Eredità & F. Spagnolo (pp.263-283) (Italian Version)

Sommario. Nel presente lavoro si sono considerate diverse concezioni di strategia e tattica in differenti contesti culturali e storici; i giochi di strategia storici quali scacchi e wei-ch’i (go), per la loro natura molto astratta, forniscono interessanti elementi per una più fine comprensione dei principi base di comportamenti e scelte. Costruire modelli matematico-scientifici o teorie matematico-scientifiche costituisce una differenza fondamentale tra occidente ed oriente. L’analisi epistemologica è suffragata da alcuni esempi ed inoltre sono state enucleate alcune tematiche didattiche Queste tematiche sono importanti soprattutto oggi, poiché l’integrazione multiculturale in campo didattico è un argomento che non può non essere affrontato.

Abstract. In the present work we took into consideration several conceptual frameworks about strategy and tactics in cultural and historical contexts; Historical strategy games such as Chess and Wei-ch’i (go), due to their abstract nature, provide interesting items to a more subtle understanding of principles of behaviours and decisions. Setting up scientific-mathematical models or theories is a fundamental difference between Eastern and Western culture. Epistemological analysis is supported by several examples and some educational thematics have been shown. Such thematics are important above all nowadays, because multicultural integration in didactics is a matter that can not be ignored.

Qu’est-ce qui permet le contraste entre l’analyse a priori et l’analyse a posteriori ?

E. Lacasta, J. R. Pascual, M. R. Wilhelmi (pp.284-297) (Version Français)

Abstract. Didactic engineering (Artigue, 1989) as a methodology of research allows to normative or technical applications of didactical results. For this purpose, it is necessary a a priori control of potential teaching projects and, a posteriori, it is also necessary to compare the theoretical study (a priori elaborate) with the effective carrying out tasks (contingency proof). This process required the establishment of “observables”; i.e., which will allow contrast between the analysis a priori and analysis a posteriori. The mean goal of this paper is the determination of observables in three theories in mathematics education: Theory of Didactical Situations, Anthropological Theory of the Didactic and Onto-semiotic Approach. Moreover, we will describe the nature and function of the observables according to these theories.

Key words: a priori analysis, a posteriori analysis, evolution of a theory, epistemological programs in mathematics education, continuous function.

Resumen. La ingeniería didáctica (Artigue, 1989) como metodología de investigación permite la aplicación normativa o técnica de resultados didácticos. Para ello, se controla a priori la  puesta en marcha de proyectos de enseñanza y, a posteriori, se compara el estudio teórico (elaborado a priori) con las realizaciones efectivas (prueba de la contingencia). En este proceso, es necesario determinar los “observables”, es decir, aquellos aspectos identificables que permiten el contraste entre el análisis a priori y el análisis a posteriori. El objetivo de este trabajo es la determinación de los observables definidos en diferentes teorías de didáctica de las matemáticas: teoría de situaciones didácticas, teoría antropológica de lo didáctico y enfoque ontológico y semiótico. Asimismo se describirá la naturaleza y función de los observables según las teorías.

Palabras clave: análisis a priori, análisis a posteriori, evolución de una teoría, programa epistemológico en didáctica de las matemáticas, función continua.

Résumé. L’ingénierie didactique (Artigue, 1989) comme méthodologie de recherche permet l’application normative ou technique des résultats didactiques. À cet effet, il faut contrôler a priori la mise en scène de projets d’enseignement et, a posteriori, il faut aussi comparer l’étude théorique (élaborée a priori) avec les réalisations effectives (preuve de la contingence). Dans tout ce processus, il est nécessaire de déterminer ce qui est « observable » ; c’est-à-dire, ce qui permettra le contraste entre l’analyse a priori et l’analyse a posteriori. L’objectif de ce travail est la détermination des observables définis dans différentes théories en didactique des mathématiques : Théorie de Situations Didactiques (TSD), Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) et Approche Ontologique et Sémiotique (AOS). D’ailleurs, la nature et la fonction des observables seront mises en rapport à ces théories.

Mots-clés : analyse a priori, analyse a posteriori, évolution d’une théorie, programme épistémologique en didactique des mathématiques, fonction continue.

Studio dei grafici di funzione nella scuola primaria

M.L. LoCicero & F. Rallo (pp.298-344) (Italian Version)

Riassunto. Il seguente articolo mostra i risultati di una sperimentazione didattica condotta in una quarta classe di Scuola Primaria relativa alla lettura e comprensione di grafici di funzioni. Le lezioni si sono svolte in assetto laboratoriale, facendo uso di un sensore di movimento. La nostra ricerca corrobora i precedenti lavori sugli strumenti MBL, secondo cui l’uso del sensore di movimento permette agli studenti di migliorare le competenze riguardanti la lettura, comprensione e interpretazione di grafici cinematici; inoltre mostra che l’utilizzo del sensore di movimento migliora tali competenze rispetto ad altri tipi di grafici, e in particolare, grafici di funzioni rappresentati fenomeni statistici. Questi risultati sono emersi dall’analisi statistica implicativa e qualitativa dei pre- e post-test e dall’analisi qualitativa delle lezioni in classe.   

Parole chiave: insegnamento, apprendimento, grafico di funzione, sensore di moto, Scuola Primaria.

Abstract. This paper shows the results of a didactical experimentation conducted in a fourth class of Primary School using motion sensor concerning reading and understanding of function graphs. The lessons were developed in laboratory, using a motion sensor. Our research corroborates previous works about the use of MBL-tools, according to which the use of motion sensor allows the students to reading, understanding and interpreting kinematics graphs; besides it shows the use of the motion sensor improves such competences respect to other type of graphs, and in particular, graphs of functions representing statistical phenomena. These results emerged from the implicative statistical and qualitative analysis of the pre- and post-test and from the qualitative analysis of the lessons in classroom.

Key words: teaching, learning, Cartesian graph, motion sensor, Primary School.

Informations about Review
(ISSN Code 1592-5137)

The review "Quaderni di Ricerca in Didattica" of GRIM (Gruppo di Ricerca sullíInsegnamento delle Matematiche, Department of Mathematics of University): the review is in INTERNET at the following address:  http://dipmat.sites.unipa.it/grim/menuquad.htm
In INTERNET they provide information about activity of research and training of GRIM (the web INTERNET is operative since 1996). From the n.8 the review will be printed to provide copies to the authors and to the libraries and put on INTERNET for some months FREE.   (ISSN on-line 1592-4424)

Informations for authors.

Articles for publications (3 copies) should be sent to Review Editor Professor: Filippo Spagnolo, "Quaderni di Ricerca in Didattica" del G.R.I.M., Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO.
The text have be to composed in WORD either for PC or for Macintosh. To utilise the font "Times new Roman". The floppy disk (3,5) have to be enclosed to the papery support. The figures have to be enclosed in the space corresponding of papery support but easily exportable. The article can be send also in E-MAIL in format .rtf, .doc.
For A4 format: Type 11, margin superior 6 cm, margin inferior 5 cm, margin dx 4,5 cm, margin sx 4,5 cm.

Informazioni sulla rivista
(Codice ISSN 1592-5137)

La ricerca documentata dal presente quaderno si svolge con contributi del MURST cofinanziamento (ex 40%) 200
Il recapito della redazione é il seguente (The address of editor is):
G.R.I.M. (Gruppo Ricerca Insegnamento delle Matematiche) Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Via Archirafi,34 - 90123 - PALERMO.
Tel. 0039 (091) 6040434 - Fax. (091) 6165425
E-Mail: spagnolo@math.unipa.it
I Quaderni di Ricerca in Didattica del GRIM sono in INTERNET al seguente indirizzo: menuquad.htm
In INTERNET all'indirizzo http://dipmat.sites.unipa.it/grim vengono fornite informazioni sull'attività di Ricerca e Formazione del GRIM.
In Internet si trovano anche, per alcuni articoli, versioni in altre lingue. Codice ISSN della versione On-Line della rivista: 1592-4424.
Ogni lavoro pubblicato nella rivista é sottoposto a referee da parte di almeno due esponenti del Comitato Scientifico.

Istruzioni per gli autori

Gli articoli, in triplice copia vanno inviati al Direttore Responsabile della rivista: prof. Filippo Spagnolo, "Quaderni di Ricerca in Didattica" del G.R.I.M., Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO.
Gli articoli, dopo essere stati accettati, vengono inviati in copia cartacea con stampa in stampante Laser e dischetto. Il testo deve essere composto preferibilmente con il WORD sia per PC che per Macintosh specificando la versione. Utilizzare il carattere "Times New Roman".
Per il formato A4: Corpo 11, margine superiore 6 cm, margine inferiore 5 cm, margine destro 4,5 cm, margine sinistro 4,5 cm.
Il dischetto con l'articolo in formato 3,5 deve essere accluso al supporto cartaceo. Eventuali figure e illustrazioni vanno accluse nel L'articolo può anche essere inviato per posta elettronica in formato .doc, .rtf  o meglio .pdf (Acrobat).
Ogni articolo deve essere preceduto da un sommario in almeno due lingue straniere, rispetto corrispondente spazio del supporto cartaceo ma esportabili facilmente. alla redazione dell'articolo. Se ad esempio l'articolo è in inglese si considerano lingue straniere l'italiano e lo spagnolo. Si accettano articoli in inglese, francese, spagnolo